Trong mặt phẳng, cho đường tròn $(O)$ và hai điểm cố định phân biệt $B, C$ thuộc đường tròn, sao cho $BC$ không là đường kính. Điểm $A$ di động trên $(O)$, khác $B$ và $C$. Gọi $D, K, J$ lần lượt là trung điểm của $BC, CA, AB$. Gọi $E, M, N$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A, B, C$ lên các đường thẳng $BC, DJ, DK$.
Chứng minh rằng các tiếp tuyến tại $M$ và $N$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $EMN$ luôn cắt nhau tại một điểm $T$ cố định khi $A$ thay đổi.
Một cánh đồng hình chữ nhật gồm $m$ hàng và $n$ cột ô vuông. Người ta đặt máy bơm vào một số ô. Mỗi máy tưới được ô chứa nó, các ô chung cạnh với ô đó và các ô cùng cột cách nó đúng một ô vuông. Tìm số máy bơm ít nhất để tưới hết cánh đồng khi (1) $m=4$; (2) $m=3$.
Cho số nguyên tố $p\ge17$. Chứng minh rằng $t=3$ là số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn điều kiện: với các số nguyên bất kì $a,b,c,d$ sao cho $abc$ không chia hết cho $p$ và $a+b+c$ chia hết cho $p$, tồn tại các số nguyên $x,y,z$ thuộc tập $\{0,1,\ldots,\lfloor p/t\rfloor-1\}$ sao cho $ax+by+cz$ chia hết cho $p$.
Lưu ý biên tập: Đề in thiếu hạng tử $+d$. Mệnh đề nguyên văn sai vì $x=y=z=0$ cũng thỏa mãn khi $t=4$. Điều kiện sửa đúng là $p\mid ax+by+cz+d$; lời giải mẫu chứng minh rõ phiên bản đã sửa.
Cho dãy số nguyên dương $(x_n)$ được xác định bởi $x_1=1$, $x_2=2011$, $x_{n+2}=4022x_{n+1}-x_n$ với mọi số nguyên dương $n$. Chứng minh rằng $(x_{2012}+1)/2012$ là số chính phương.
Chứng minh $C=10\sqrt{24}$ là hằng số lớn nhất có tính chất: nếu 17 số thực dương $a_1,\ldots,a_{17}$ thỏa mãn
$$\sum_{i=1}^{17}a_i^2=24,\qquad \sum_{i=1}^{17}a_i^3+\sum_{i=1}^{17}a_i\lt C,$$
thì với mọi $1\le i\lt j\lt k\le17$, các số $a_i,a_j,a_k$ là độ dài ba cạnh một tam giác.
Có 42 học sinh tham dự kỳ thi chọn đội tuyển Olympic Toán quốc tế. Mỗi học sinh quen đúng 20 học sinh khác. Chứng minh có thể chia 42 học sinh thành 2 nhóm hoặc 21 nhóm có số học sinh bằng nhau, sao cho hai học sinh bất kỳ trong cùng nhóm đều quen nhau. Quan hệ quen biết được hiểu là đối xứng.
Cho dãy số thực $(x_n)$ xác định bởi $x_1=3$ và $x_n=\dfrac{n+2}{3n}(x_{n-1}+2)$ với mọi $n\ge2$. Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn khi $n\to+\infty$. Tìm giới hạn đó.
Cho các cấp số cộng $(a_n),(b_n)$ và cho số nguyên $m\gt 2$. Xét $m$ tam thức bậc hai $P_k(x)=x^2+a_kx+b_k$, $k=1,2,\ldots,m$. Chứng minh rằng nếu hai tam thức $P_1(x)$ và $P_m(x)$ đều không có nghiệm thực thì tất cả các tam thức còn lại cũng không có nghiệm thực.
Trong mặt phẳng, cho tứ giác lồi $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ và có các cặp cạnh đối không song song. Gọi $M,N$ tương ứng là giao điểm của các đường thẳng $AB$ và $CD$, $AD$ và $BC$. Gọi $P,Q,S,T$ tương ứng là giao điểm các đường phân giác trong của các cặp $\angle MAN$ và $\angle MBN$, $\angle MBN$ và $\angle MCN$, $\angle MCN$ và $\angle MDN$, $\angle MDN$ và $\angle MAN$. Giả sử bốn điểm $P,Q,S,T$ đôi một phân biệt.
(1) Chứng minh rằng bốn điểm $P,Q,S,T$ cùng nằm trên một đường tròn. Gọi $I$ là tâm đường tròn đó.
(2) Gọi $E$ là giao điểm của các đường chéo $AC$ và $BD$. Chứng minh rằng ba điểm $E,O,I$ thẳng hàng.
Cho số nguyên dương $n$. Có $n$ học sinh nam và $n$ học sinh nữ xếp thành một hàng ngang, theo thứ tự tùy ý. Mỗi học sinh $X$ (trong số $2n$ học sinh vừa nêu) được cho một số kẹo bằng đúng số cách chọn ra hai học sinh khác giới với $X$ và đứng ở hai phía của $X$. Chứng minh rằng tổng số kẹo mà tất cả $2n$ học sinh nhận được không vượt quá $\dfrac13n(n^2-1)$.
Cho một nhóm gồm $5$ cô gái, kí hiệu là $G_1,G_2,G_3,G_4,G_5$, và $12$ chàng trai. Có $17$ chiếc ghế được xếp thành một hàng ngang. Người ta xếp nhóm người đã cho ngồi vào các chiếc ghế đó sao cho các điều kiện sau được đồng thời thỏa mãn:
1. Mỗi ghế có đúng một người ngồi;
2. Thứ tự ngồi của các cô gái, xét từ trái qua phải, là $G_1,G_2,G_3,G_4,G_5$;
3. Giữa $G_1$ và $G_2$ có ít nhất $3$ chàng trai;
4. Giữa $G_4$ và $G_5$ có ít nhất $1$ chàng trai và nhiều nhất $4$ chàng trai.
Hỏi có tất cả bao nhiêu cách xếp như vậy? (Hai cách xếp được coi là khác nhau nếu tồn tại một chiếc ghế mà người ngồi ở chiếc ghế đó trong hai cách xếp là khác nhau.)
Xét các số tự nhiên lẻ $a,b$ mà $a$ là ước số của $b^2+2$ và $b$ là ước số của $a^2+2$. Chứng minh rằng $a$ và $b$ là các số hạng của dãy số tự nhiên $(v_n)$ xác định bởi $v_1=v_2=1$ và $v_n=4v_{n-1}-v_{n-2}$ với mọi $n\ge3$.
Tìm tất cả các hàm số $f$ xác định trên tập số thực $\mathbb R$, lấy giá trị trong $\mathbb R$ và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: (1) $f$ là toàn ánh từ $\mathbb R$ đến $\mathbb R$; (2) $f$ là hàm số tăng trên $\mathbb R$; (3) $f(f(x))=f(x)+12x$ với mọi số thực $x$.