Cho hai số tự nhiên $N,n$. Chứng minh rằng với mọi số thực không âm $\alpha\le N$, với mọi số thực $x$ ta luôn có bất đẳng thức
$$\left|\sum_{k=0}^n\frac{\sin((\alpha+k)x)}{N+k}\right|\le\min\left\{(n+1)|x|,\frac1{N|\sin(x/2)|}\right\}.$$
Xét dãy số Fibonacci $1,1,2,3,5,8,13,\ldots$. Đặt $f(n)=1985n^2+1956n+1960$.
(a) Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số $F$ thuộc dãy Fibonacci sao cho $f(F)$ chia hết cho $1989$.
(b) Tồn tại hay không một số $G$ của dãy trên sao cho $f(G)+2$ chia hết cho $1989$?
Trong mặt phẳng cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $2$, các chữ $A,B,C,D$ xếp theo thứ tự nào đó trên hình vuông. Đoạn thẳng $AB$ được dời chỗ liên tục để đến trùng với đoạn thẳng $CD$ sao cho $A$ trùng với $C$ và $B$ trùng với $D$. Gọi $S$ là diện tích của hình do đoạn thẳng $AB$ quét ra trong khi dời chỗ. Chứng minh rằng có thể tìm được một cách dời chỗ sao cho $S\lt 5\pi/6$ (nếu một điểm nào đó được quét hai lần thì cũng chỉ tính một lần).
Cho dãy đa thức $\{P_n(x)\}_{n=0}^{\infty}$ xác định như sau: $P_0(x)=0$ và
$$P_{n+1}(x)=P_n(x)+\frac{x-P_n^2(x)}2$$
với mọi $n\ge0$. Chứng minh rằng với mọi $x\in[0,1]$, với mọi $n$ nguyên không âm, ta có
$$0\le\sqrt x-P_n(x)\le\frac2{n+1}.$$
Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$. Chứng minh rằng nếu một đường thẳng $\Delta$ cắt ba trong bốn đường thẳng $AB'$, $BC'$, $CD'$ và $DA'$ thì phải cắt hoặc song song với đường thẳng thứ tư.