Cho tam giác nhọn không cân \(ABC\). Gọi \(D,E,F\) lần lượt là trung điểm của \(BC,CA,AB\), và \(O,O'\) là tâm ngoại tiếp, tâm đường tròn Euler. Điểm \(P\) nằm trong tam giác \(DEF\). Các đường thẳng \(DP,EP,FP\) cắt lại đường tròn Euler tại \(D',E',F'\). Gọi \(A',B',C'\) lần lượt là các điểm đối xứng của \(A,B,C\) qua \(D',E',F'\).
(a) Nếu \(PO=PO'\), chứng minh đường tròn \((A'B'C')\) đi qua \(O\).
(b) Gọi \(X,Y,Z\) lần lượt là các điểm đối xứng của \(A',B',C'\) qua \(OD,OE,OF\). Với \(H\) là trực tâm, đặt \(M=HX\cap BC\), \(N=HY\cap CA\), \(K=HZ\cap AB\). Chứng minh \(M,N,K\) thẳng hàng.
Chú thích miền xác định: câu (b) của bản in cho phép những vị trí mà đường thẳng hoặc giao điểm cần dùng không tồn tại. Lời giải dưới đây xét các cấu hình có các giao điểm hữu hạn, xác định; phần lời giải nêu một ngoại lệ cụ thể.
Với $m$ là số nguyên dương, xét bảng ô vuông $m\times2018$ gồm $m$ hàng, 2018 cột, trong đó có một vài ô trống, còn một vài ô được đánh số 0 hoặc 1. Bảng được gọi là “đầy đủ” nếu với bất kỳ chuỗi nhị phân $S$ có 2018 ký tự nào, ta đều có thể chọn một hàng rồi điền thêm 0, 1 vào các ô trống để 2018 ký tự của hàng tạo thành $S$ (nếu $S$ đã có sẵn trên một hàng thì cũng coi là thỏa mãn). Bảng được gọi là “tối giản” nếu nó đầy đủ và bỏ đi bất kỳ hàng nào thì không còn đầy đủ.
(a) Với $0\le k\le2018$, chứng minh tồn tại bảng tối giản $2^k\times2018$ có đúng $k$ cột chứa đủ cả 0 lẫn 1.
(b) Cho bảng tối giản $m\times2018$ có đúng $k$ cột chứa cả 0 lẫn 1. Chứng minh $m\le2^k$.
Một chuỗi nhị phân độ dài 2018 có dạng $x_1x_2\cdots x_{2018}$, trong đó $x_i\in\{0,1\}$ với mọi $i$.
Cho số nguyên $n\ge3$ và $A_n$ là tập hợp tất cả số nguyên dương nhỏ hơn $n$, nguyên tố cùng nhau với $n$. Xét đa thức
$$P_n(x)=\sum_{k\in A_n}x^{k-1}.$$
(a) Chứng minh $P_n(x)$ chia hết cho $x^r+1$ với một số nguyên dương $r$ nào đó.
(b) Tìm tất cả các số $n$ như trên để $P_n(x)$ bất khả quy trên $\mathbb Z[x]$.
Cho $a\in[\tfrac12,\tfrac23]$. Với $n=0,1,2,\ldots$, xác định
$$u_n=\frac3{2^{n+1}}(-1)^{\lfloor2^{n+1}a\rfloor},\qquad v_n=\frac3{2^{n+1}}(-1)^{n+\lfloor2^{n+1}a\rfloor}.$$
(a) Chứng minh
$$\left(\sum_{i=0}^{2018}u_i\right)^2+\left(\sum_{i=0}^{2018}v_i\right)^2\le72a^2-48a+10+\frac2{4^{2019}}.$$
(b) Tìm tất cả giá trị của $a$ để đẳng thức xảy ra.
Một bảng ô vuông $m\times n$ hình chữ nhật $ABCD$ có các đỉnh là giao lộ, tổng cộng $(m+1)(n+1)$ giao lộ. Người ta muốn thiết lập tuyến đường bắt đầu từ $A$, đi theo các cạnh song song với các cạnh hình chữ nhật, qua tất cả giao lộ đúng một lần rồi quay về $A$.
(a) Chứng minh xây dựng được tuyến đường như thế khi và chỉ khi $m$ lẻ hoặc $n$ lẻ.
(b) Với $m,n$ thỏa mãn (a), hỏi ít nhất có bao nhiêu giao lộ mà tại đó có ngã rẽ?
Cho tam giác nhọn \(ABC\) nội tiếp \((O)\). Đường tròn bàng tiếp góc \(A\), ký hiệu \((J)\), tiếp xúc các đường thẳng \(BC,CA,AB\) tại \(D,E,F\).
(a) Gọi \(L\) là trung điểm \(BC\). Đường tròn đường kính \(LJ\) cắt lại \(DE,DF\) tại \(K,H\). Chứng minh \((BDK)\) và \((CDH)\) có điểm chung khác \(D\) thuộc \((J)\).
(b) Giả sử \(G=EF\cap BC\), đường thẳng \(GJ\) cắt \(AB,AC\) tại \(M,N\). Lấy \(P\) trên đường thẳng \(JB\), \(Q\) trên đường thẳng \(JC\) sao cho \(AP\perp AB\), \(AQ\perp AC\). Đặt \(T=PM\cap QN\). Gọi \(S\) là điểm chính giữa cung lớn \(BC\) của \((O)\), và \(I\) là tâm nội tiếp. Chứng minh \(SI\) cắt \(AT\) tại một điểm trên \((O)\).
Điều kiện bổ sung công khai: các đường thẳng, giao điểm thứ hai và đường tròn được dùng phải xác định, không suy biến. Chỉ giả thiết tam giác nhọn chưa bảo đảm điều này, kể cả trong câu (a). Lời giải nêu phản ví dụ cụ thể cho miền xác định chưa hạn chế của bản in.
Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi $x_1=2$ và $x_{n+1}=\sqrt{x_n+8}-\sqrt{x_n+3}$ với $n\ge1$.
(a) Chứng minh rằng dãy số $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
(b) Với mỗi số nguyên dương $n$, chứng minh rằng $n\le x_1+x_2+\cdots+x_n\le n+1$.
Cho tam giác nhọn không cân $ABC$ và $D$ là một điểm trên cạnh $BC$. Lấy điểm $E$ trên cạnh $AB$ và lấy điểm $F$ trên cạnh $AC$ sao cho $\angle DEB=\angle DFC$. Các đường thẳng $DF,DE$ lần lượt cắt $AB,AC$ tại $M,N$. Gọi $(I_1),(I_2)$ tương ứng là các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $DEM,DFN$. Kí hiệu $(J_1)$ là đường tròn tiếp xúc trong với $(I_1)$ tại $D$ và tiếp xúc với $AB$ tại $K$, $(J_2)$ là đường tròn tiếp xúc trong với $(I_2)$ tại $D$ và tiếp xúc với $AC$ tại $H$. $P$ là giao điểm của $(I_1)$ và $(I_2)$; $Q$ là giao điểm của $(J_1)$ và $(J_2)$ ($P,Q$ khác $D$).
(a) Chứng minh rằng $D,P,Q$ thẳng hàng.
(b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $AHK$ và đường thẳng $AQ$ lần lượt tại $G,L$ ($G,L$ khác $A$). Chứng minh rằng tiếp tuyến tại $D$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $DQG$ cắt đường thẳng $EF$ tại một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $DLG$.
Một nhà đầu tư có hai mảnh đất hình chữ nhật, các mảnh đất cùng có kích thước $120\,\mathrm m\times100\,\mathrm m$.
(a) Trên mảnh đất thứ nhất, nhà đầu tư muốn xây một ngôi nhà có nền hình chữ nhật kích thước $25\,\mathrm m\times35\,\mathrm m$ và xây bên ngoài $9$ bồn hoa hình tròn đường kính $5\,\mathrm m$. Chứng minh rằng dù xây trước $9$ bồn hoa ở đâu thì trên phần đất còn lại vẫn đủ chỗ xây ngôi nhà đó.
(b) Trên mảnh đất thứ hai, nhà đầu tư muốn xây một hồ cá hình một đa giác lồi sao cho từ một điểm bất kỳ trên phần đất còn lại có thể đi không quá $5\,\mathrm m$ thì đến bờ hồ. Chứng minh rằng chu vi của hồ không nhỏ hơn $(440-20\sqrt2)\,\mathrm m$.
Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $(C)$ là đồ thị của hàm số $y=\sqrt[3]{x^2}$. Một đường thẳng $d$ thay đổi sao cho $d$ cắt $(C)$ tại ba điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là $x_1,x_2,x_3$. Chứng minh rằng:
(a) Đại lượng $\sqrt[3]{\dfrac{x_1x_2}{x_3^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{x_2x_3}{x_1^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{x_3x_1}{x_2^2}}$ là một hằng số.
(b) $\sqrt[3]{\dfrac{x_1^2}{x_2x_3}}+\sqrt[3]{\dfrac{x_2^2}{x_3x_1}}+\sqrt[3]{\dfrac{x_3^2}{x_1x_2}}\lt -\dfrac{15}4$.
Cho các số nguyên dương $n$ và $d$. Xét tập hợp $S_n(d)$ gồm tất cả các bộ số có thứ tự $(x_1,\ldots,x_d)$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
(i) $x_i\in\{1,2,\ldots,n\}$ với mọi chỉ số $1\le i\le d$;
(ii) $x_i\ne x_{i+1}$ với mọi chỉ số $1\le i\le d-1$;
(iii) không tồn tại các chỉ số $1\le i\lt j\lt k\lt l\le d$ sao cho $x_i=x_k$ và $x_j=x_l$.
(a) Tính số phần tử của tập hợp $S_3(5)$.
(b) Chứng minh rằng tập hợp $S_n(d)$ khác rỗng khi và chỉ khi $d\le2n-1$.
Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi $x_0=2$, $x_1=1$ và $x_{n+2}=x_{n+1}+x_n$ với mọi $n\ge0$.
(a) Với $n\ge1$, chứng minh rằng nếu $x_n$ là số nguyên tố thì $n$ là số nguyên tố hoặc $n$ không có ước nguyên tố lẻ.
(b) Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm $(m,n)$ sao cho $x_n$ chia hết cho $x_m$.
Cho tam giác nhọn không cân $ABC$ có trọng tâm $G$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $H_a,H_b,H_c$ lần lượt là chân các đường cao hạ từ các đỉnh $A,B,C$ của tam giác $ABC$ và $D,E,F$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC,CA,AB$. Các tia $GH_a,GH_b,GH_c$ lần lượt cắt $(O)$ tại các điểm $X,Y,Z$.
(a) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $XCE$ đi qua trung điểm đoạn thẳng $BH_a$.
(b) Gọi $M,N,P$ tương ứng là trung điểm các đoạn thẳng $AX,BY,CZ$. Chứng minh rằng các đường thẳng $DM,EN,FP$ đồng quy.