Cho cấp số cộng gồm 1987 số hạng đầu $u_1=\pi/1987$ và công sai $d=\pi/3974$. Hãy xác định giá trị của tổng
$$S=\sum\cos(\pm u_1\pm u_2\pm\cdots\pm u_{1987}),$$
ở đó tổng chứa tất cả các số hạng ứng với tất cả các cách khác nhau có thể được để lấy các dấu $+$ hay $-$ trước các số $u_1,u_2,\ldots,u_{1987}$.
Cho hai dãy số $(x_n)_{n\ge0}$ và $(y_n)_{n\ge0}$ theo quy luật
$$x_0=365,\qquad x_{n+1}=x_n(x_n^{1986}+1)+1622,$$
$$y_0=16,\qquad y_{n+1}=y_n(y_n^3+1)-1952\quad(n\ge0).$$
Chứng minh rằng $|x_n-y_k|\gt 0$ với mọi $n,k$ tự nhiên.
Trong mặt phẳng cho $n$ đường thẳng đôi một cắt nhau nhưng không cùng đi qua một điểm. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một điểm là giao của hai và chỉ hai trong số $n$ đường thẳng đó.
Cho $a_i\gt 0$ với mọi $i=1,\ldots,n$ và $n\ge2$. Đặt $S=\sum_{k=1}^n a_k$. Chứng minh rằng
$$\sum_{k=1}^n\frac{a_k^{2^m}}{(S-a_k)^{2^t-1}}\ge\frac{S^{1+2^m-2^t}}{(n-1)^{2^t-1}n^{2^m-2^t}}$$
với mọi $m,t$ nguyên thỏa mãn $m\ge t\ge0$. Dấu bằng xảy ra khi nào?
Hàm số $f(x)$ xác định và có đạo hàm trên $[0,+\infty)$. Biết rằng với mọi $x\ge0$ luôn có:
(a) $|f(x)|\le5$;
(b) $f(x)f'(x)\ge\sin x$.
Tồn tại hay không $\lim_{x\to+\infty}f(x)$?
Trong không gian cho 5 nửa đường thẳng $Ox_k$ với $k=1,\ldots,5$. Gọi $\alpha$ là giá trị bé nhất trong tất cả các góc hợp bởi các cặp nửa đường thẳng $Ox_i$ và $Ox_j$ với $i\ne j$. Chứng minh rằng $\alpha\le90^\circ$.