Cho hai tập hợp $A,B$ gồm các số nguyên dương, thỏa mãn $|A|=|B|=n$ (với $n$ là số nguyên dương) và có tổng các phần tử bằng nhau. Xét bảng ô vuông $n\times n$. Chứng minh rằng có thể điền vào mỗi ô một số nguyên không âm thỏa mãn đồng thời: (i) các tổng hàng là các phần tử của tập $A$; (ii) các tổng cột là các phần tử của tập $B$; (iii) có ít nhất $(n-1)^2+k$ số $0$, với $k$ là số phần tử chung của $A$ và $B$.
Cho tam giác nhọn $ABC$ với đường tròn nội tiếp $I$. Gọi $(k_a)$ là đường tròn có tâm nằm trên đường cao của góc $A$, đi qua điểm $A$ và tiếp xúc trong với đường tròn $(I)$ tại $A_1$. Các điểm $B_1,C_1$ xác định tương tự.
1/ Chứng minh $AA_1,BB_1,CC_1$ đồng qui tại $P$.
2/ Gọi $(J_a),(J_b),(J_c)$ lần lượt là các đường tròn đối xứng với đường tròn bàng tiếp các góc $A,B,C$ của tam giác $ABC$ qua trung điểm $BC,CA,AB$.
Chứng minh $P$ là tâm đẳng phương của 3 đường tròn nói trên.
Cho tam giác $ABC$. Tìm giá trị nhỏ nhất của
$$S=\frac{\cos^2(A/2)\cos^2(B/2)}{\cos^2(C/2)}+\frac{\cos^2(B/2)\cos^2(C/2)}{\cos^2(A/2)}+\frac{\cos^2(C/2)\cos^2(A/2)}{\cos^2(B/2)}.$$
Cho $A$ là tập con chứa $2007$ phần tử của tập $\{1,2,3,\ldots,4013,4014\}$ thỏa mãn với mọi $a,b\in A$ thì $a$ không chia hết cho $b$. Gọi $m_A$ là phần tử nhỏ nhất của $A$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $m_A$ với $A$ thỏa mãn các điều kiện trên.
Cho đa giác $9$ cạnh đều $(H)$. Xét ba tam giác có các đỉnh là đỉnh của $(H)$ sao cho không có hai tam giác nào chung đỉnh. Chứng minh rằng có thể chọn từ mỗi tam giác một cạnh sao cho ba cạnh này bằng nhau.
Cho $x,y$ là các số nguyên, $x\ne-1$ và $y\ne-1$ sao cho
$$\frac{x^4-1}{y+1}+\frac{y^4-1}{x+1}$$
là số nguyên. Chứng minh rằng $x^4y^{44}-1$ chia hết cho $x+1$.
Cho tam giác $ABC$ có hai đỉnh $B,C$ cố định và đỉnh $A$ thay đổi. Gọi $H,G$ lần lượt là trực tâm và trọng tâm của tam giác $ABC$. Tìm quỹ tích điểm $A$, biết rằng trung điểm $K$ của $HG$ thuộc đường thẳng $BC$.
Cho một đa giác đều $2007$ đỉnh. Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất thoả mãn tính chất: Trong mỗi cách chọn $k$ đỉnh của đa giác luôn tồn tại $4$ đỉnh tạo thành một tứ giác lồi mà $3$ trong số $4$ cạnh của nó là $3$ cạnh của đa giác đã cho.
Cho $b$ là một số thực dương. Hãy xác định tất cả các hàm số $f$ xác định trên tập các số thực $\mathbb R$, lấy giá trị trong $\mathbb R$ và thoả mãn phương trình
$$f(x+y)=f(x)3^{b^y+f(y)-1}+b^x\left(3^{b^y+f(y)-1}-b^y\right)\qquad\forall x,y\in\mathbb R.$$
Cho hình thang $ABCD$ có đáy lớn $BC$ và nội tiếp đường tròn $(O)$ tâm $O$. Gọi $P$ là một điểm thay đổi trên đường thẳng $BC$ và nằm ngoài đoạn $BC$ sao cho $PA$ không là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$. Đường tròn đường kính $PD$ cắt $(O)$ tại $E$ ($E\ne D$). Gọi $M$ là giao điểm của $BC$ với $DE$, $N$ là giao điểm khác $A$ của $PA$ với $(O)$. Chứng minh rằng đường thẳng $MN$ đi qua một điểm cố định.
Cho số thực $a\gt 2$. Đặt
$$f_n(x)=a^{10}x^{n+10}+x^n+\cdots+x+1\qquad(n=1,2,\ldots).$$
Chứng minh rằng với mỗi $n$, phương trình $f_n(x)=a$ có đúng một nghiệm $x_n\in(0;+\infty)$. Chứng minh dãy số $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn khi $n\to+\infty$.