Người ta xét các cặp phân số tối giản $m/n\lt 1$ và $p/q\lt 1$ với $m,n,p,q$ là các số nguyên dương sao cho nếu $m/n=\tan\alpha$, $p/q=\tan\beta$ thì $\alpha+\beta=45^\circ$.
(a) Cho $m$ và $n$ hãy xác định $p$ và $q$. Khi nào thì có lời giải?
(b) Cho $n$ và $q$ hãy xác định $m$ và $p$. Khi nào thì có lời giải?
(c) Cho $m$ và $q$ hãy xác định $n$ và $p$. Khi nào thì có một lời giải? Khi nào thì có hai lời giải?
Cho một hình lập phương $ABCD.EFGH$ có cạnh $AB=2a$ và xét các đường thẳng $d$ cắt ba đường thẳng vô hạn $AE$, $BC$ và $DF$ (trường hợp đặc biệt có thể song song với một trong ba đường thẳng đó). Gọi $M$ là giao điểm của $d$ với đường thẳng $BC$ và $m$ là khoảng cách từ $M$ đến $B$.
(a) Hãy chứng minh rằng mặt phẳng $MAE$ cắt $FG$ tại một điểm $E'$ cách một khoảng bằng $m$ và mặt phẳng $MDF$ cắt $EH$ tại một điểm $F'$ cách $H$ cũng một khoảng bằng $m$. Từ đó suy ra cách dựng giao điểm $P$ của đường thẳng $d$ với mặt $EFGH$.
(b) Tính khoảng cách từ $P$ đến các đường thẳng $EF$ và $EH$ theo $m$. Hãy tìm một hệ thức giữa hai khoảng cách ấy không phụ thuộc vào $m$. Từ đó suy ra quỹ tích của điểm $P$. Phần nào của quỹ tích ứng với các điểm $M$ trên cạnh $BC$?
(c) Các đường thẳng $d$ tạo nên một mặt $S$. Mặt $S$ cắt các mặt của hình lập phương theo những đường nào, tại sao?