Cho 44 cái lỗ phân biệt trên một cái rãnh là đường thẳng và 2017 con kiến. Mỗi con kiến sẽ chui lên từ một cái lỗ và bò đến một cái lỗ khác với vận tốc không đổi rồi chui xuống đó. Gọi $T$ là tập các thời điểm mà con kiến chui lên hoặc chui xuống các cái lỗ. Biết rằng vận tốc của các con kiến đôi một khác nhau và $|T|\le45$. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai con kiến nào đó không gặp nhau. Quy ước hai con kiến gặp nhau khi và chỉ khi tồn tại một thời điểm mà cả hai ở cùng một vị trí trên rãnh, kể cả lúc chui lên và xuống.
Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt $x_n=\binom{2n}{n}$.
(a) Chứng minh rằng nếu $2017^k/2\lt n\lt 2017^k$ với một số nguyên dương $k$ nào đó thì $x_n$ là bội của 2017.
(b) Tìm tất cả số nguyên dương $h>1$ để tồn tại các số nguyên dương $N,T$ sao cho với mọi $n>N$, dãy $x_n$ tuần hoàn theo modulo $h$ với chu kỳ $T$, nghĩa là $x_{n+T}\equiv x_n\pmod h$.
Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. Gọi $I_b,I_c$ là tâm bàng tiếp góc $B,C$; $P,Q$ là trung điểm $I_bE,I_cF$. Các đường tròn $(PAC),(QAB)$ cắt lại $AB,AC$ tại $R,S$.
(a) Chứng minh $PR,QS,AI$ đồng quy.
(b) Đặt $K=DE\cap I_bI_c$, $J=DF\cap I_bI_c$, $M=EJ\cap FK$. Các đường $PE,QF$ cắt lại $(PAC),(QAB)$ tại $X,Y$. Chứng minh $BY,CX,AM$ đồng quy.
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn cố định $(O)$, với $B,C$ cố định và $A$ di động trên $(O)$ sao cho $AB>BC$. Gọi $M$ là trung điểm của $AC$. Đường tròn đường kính $BM$ cắt $(O)$ lần nữa tại $R$. Đường thẳng $RM$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $Q$, cắt $BC$ tại $P$. Đường tròn đường kính $BP$ cắt $AB,BO$ lần lượt tại các điểm thứ hai $K,S$.
(a) Chứng minh rằng $SR$ đi qua trung điểm của $KP$.
(b) Gọi $N$ là trung điểm của $BC$. Trục đẳng phương của hai đường tròn đường kính $AN,BM$ cắt $SR$ tại $E$. Chứng minh rằng $ME$ luôn đi qua một điểm cố định.
Cho 2017 số thực dương $a_1,a_2,\ldots,a_{2017}$. Với mỗi $n>2017$, đặt
$$a_n=\max\{a_{i_1}a_{i_2}a_{i_3}:i_1+i_2+i_3=n,\ 1\le i_1\le i_2\le i_3\le n-1\}.$$
Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $m\le2017$ và số nguyên dương $N>4m$ sao cho $a_na_{n-4m}=a_{n-2m}^2$ với mọi $n>N$.
Với mỗi số nguyên dương $n$, xét một hoán vị $a_1,a_2,\ldots,a_{2n}$ của $2n$ số nguyên dương đầu tiên. Hoán vị được gọi là đẹp nếu các số ở vị trí đối nhau thỏa $a_i+a_{n+i}=2n+1$ với $1\le i\le n$, đồng thời $2n$ hiệu $a_i-a_{i+1}$ đôi một không đồng dư modulo $2n+1$. Quy ước $a_{2n+1}=a_1$.
(a) Với $n=6$, hãy chỉ ra một hoán vị đẹp.
(b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ luôn tồn tại một hoán vị đẹp.
Cho số thực $a$ và xét dãy số $(u_n)$ xác định bởi
$$u_1=a,\qquad u_{n+1}=\frac12+\sqrt{\frac{2n+3}{n+1}u_n+\frac14}\quad(n\ge1).$$
a) Khi $a=5$, chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
b) Tìm tất cả $a$ để dãy xác định và có giới hạn hữu hạn.
Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp $(O)$. Gọi $H$ là trực tâm; $E,F$ lần lượt là chân đường cao từ $B,C$; $AH$ cắt $(O)$ tại $D\ne A$.
a) Gọi $I$ là trung điểm $AH$; $EI$ cắt $BD$ tại $M$, $FI$ cắt $CD$ tại $N$. Chứng minh $MN\perp OH$.
b) Các đường $DE,DF$ cắt $(O)$ lần lượt tại $P,Q\ne D$. Đường tròn ngoại tiếp $AEF$ cắt $(O)$ và $AO$ lần lượt tại $R,S\ne A$. Chứng minh $BP,CQ,RS$ đồng quy.
Cho số nguyên $n\gt 1$. Bảng vuông $ABCD$ kích thước $n\times n$ gồm các ô vuông đơn vị tô đen, trắng hoặc xám. Cách tô đối xứng là cách tô trong đó mỗi ô có tâm trên $AC$ được tô xám, và mỗi cặp ô đối xứng qua $AC$ cùng đen hoặc cùng trắng. Điền 0 vào ô xám, số nguyên dương vào ô trắng, số nguyên âm vào ô đen. Cách điền gọi là k-cân đối, với $k$ nguyên dương, nếu:
i) Mỗi cặp ô đối xứng được điền cùng một số nguyên thuộc $[-k,k]$.
ii) Nếu hàng và cột giao nhau tại ô đen, tập số dương trên hàng và tập số dương trên cột không giao nhau; nếu giao tại ô trắng, hai tập số âm tương ứng không giao nhau.
a) Với $n=5$, tìm $k$ nhỏ nhất để cách tô trong hình có cách điền k-cân đối.
b) Với $n=2017$, tìm $k$ nhỏ nhất để mọi cách tô đối xứng luôn có cách điền k-cân đối.
Chứng minh rằng
a) $\displaystyle\sum_{k=1}^{1008}k\binom{2017}{k}\equiv0\pmod{2017^2}$;
b) $\displaystyle\sum_{k=1}^{504}(-1)^k\binom{2017}{k}\equiv3(2^{2016}-1)\pmod{2017^2}$.
Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp $(O)$ và $G$ thuộc cung $BC$ không chứa $O$ của đường tròn $(I)$ ngoại tiếp tam giác $OBC$. Đường tròn ngoại tiếp $ABG$ cắt $AC$ tại $E\ne A$; đường tròn ngoại tiếp $ACG$ cắt $AB$ tại $F\ne A$.
a) Gọi $K=BE\cap CF$. Chứng minh $AK,BC,OG$ đồng quy.
b) Cho điểm cố định $D$ thuộc cung $BOC$ chứa $O$ của $(I)$; $GB$ cắt $CD$ tại $M$, $GC$ cắt $BD$ tại $N$. Giả sử $MN$ cắt $(O)$ tại hai điểm $P,Q$. Chứng minh rằng khi $G$ thay đổi trên cung $BC$ không chứa $O$, đường tròn ngoại tiếp $GPQ$ luôn đi qua hai điểm cố định.
