Tìm tất cả tam giác $ABC$ có $\angle BCA$ nhọn và đường trung trực của $BC$ cắt các tia $Ax,Ay$ chia ba góc $BAC$, với $\angle BAx=\angle xAy=\angle yAC$, tại $M,N$ thỏa mãn
$$AB=NP=2HM,$$
trong đó $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $BC$ và $M$ là trung điểm của $BC$.
Ký hiệu trên giữ nguyên đề được cung cấp; xem lỗi và cách hiểu có điều kiện được nêu rõ trong lời giải.
PDF được cung cấp không ghi thời gian làm bài. Bản này dùng 240 phút mỗi buổi theo yêu cầu của người dùng, tổng 480 phút cho hai buổi; đây là quy ước biên tập. Nguồn được cung cấp không ghi điểm từng bài. Mỗi bài dùng 1 điểm biên tập để tương thích khi nhập; đây không phải thang điểm chính thức. Bài tự luận chấm thủ công; hướng dẫn chấm là biên tập. Hệ số nhập: đúng 1, sai 0, bỏ trống 0.
Ghi số nguyên dương $N_0$ lên bảng. A và B luân phiên chơi, A đi trước; mỗi lượt thay số nguyên dương hiện tại $N$ bởi $N-1$ hoặc $\lfloor N/3\rfloor$. Người đầu tiên ghi 0 thắng. Hỏi ai có chiến lược chắc chắn thắng khi (1) $N_0=120$; (2) $N_0=(3^{2002}-1)/2$; (3) $N_0=(3^{2002}+1)/2$. Ký hiệu $\lfloor x\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$.
PDF được cung cấp không ghi thời gian làm bài. Bản này dùng 240 phút mỗi buổi theo yêu cầu của người dùng, tổng 480 phút cho hai buổi; đây là quy ước biên tập. Nguồn được cung cấp không ghi điểm từng bài. Mỗi bài dùng 1 điểm biên tập để tương thích khi nhập; đây không phải thang điểm chính thức. Bài tự luận chấm thủ công; hướng dẫn chấm là biên tập. Hệ số nhập: đúng 1, sai 0, bỏ trống 0.
Cho số nguyên dương $m$ có một ước nguyên tố lớn hơn $\sqrt{2m}+1$. Tìm số nguyên dương $M$ nhỏ nhất sao cho tồn tại tập hữu hạn $T$ gồm các số nguyên dương đôi một khác nhau, thỏa mãn: (i) số nhỏ nhất và lớn nhất lần lượt là $m,M$; (ii) tích tất cả các phần tử là một số chính phương.
PDF được cung cấp không ghi thời gian làm bài. Bản này dùng 240 phút mỗi buổi theo yêu cầu của người dùng, tổng 480 phút cho hai buổi; đây là quy ước biên tập. Nguồn được cung cấp không ghi điểm từng bài. Mỗi bài dùng 1 điểm biên tập để tương thích khi nhập; đây không phải thang điểm chính thức. Bài tự luận chấm thủ công; hướng dẫn chấm là biên tập. Hệ số nhập: đúng 1, sai 0, bỏ trống 0.
Cho số nguyên $n\ge2$ và bảng $n\times2n$ gồm $n$ hàng, $2n$ cột. Đánh dấu tùy ý $n^2$ ô vuông đơn vị. Chứng minh với mỗi số nguyên $k$ thỏa $1\lt k\le\lfloor n/2\rfloor+1$, có thể chọn $k$ hàng sao cho bảng $k\times2n$ tạo thành có không ít hơn
$$\frac{k!(n-2k+2)}{(n-k+1)(n-k+2)\cdots(n-1)}$$
cột gồm toàn ô được đánh dấu. Ký hiệu $\lfloor x\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$.
PDF được cung cấp không ghi thời gian làm bài. Bản này dùng 240 phút mỗi buổi theo yêu cầu của người dùng, tổng 480 phút cho hai buổi; đây là quy ước biên tập. Nguồn được cung cấp không ghi điểm từng bài. Mỗi bài dùng 1 điểm biên tập để tương thích khi nhập; đây không phải thang điểm chính thức. Bài tự luận chấm thủ công; hướng dẫn chấm là biên tập. Hệ số nhập: đúng 1, sai 0, bỏ trống 0.
Tìm tất cả đa thức $P(x)$ hệ số nguyên sao cho
$$Q(x)=(x^2+6x+10)P(x)^2-1$$
là bình phương của một đa thức hệ số nguyên.
PDF được cung cấp không ghi thời gian làm bài. Bản này dùng 240 phút mỗi buổi theo yêu cầu của người dùng, tổng 480 phút cho hai buổi; đây là quy ước biên tập. Nguồn được cung cấp không ghi điểm từng bài. Mỗi bài dùng 1 điểm biên tập để tương thích khi nhập; đây không phải thang điểm chính thức. Bài tự luận chấm thủ công; hướng dẫn chấm là biên tập. Hệ số nhập: đúng 1, sai 0, bỏ trống 0.
Chứng minh tồn tại số nguyên $m\ge2002$ và các số nguyên dương đôi một khác nhau $a_1,a_2,\ldots,a_m$ sao cho
$$\prod_{i=1}^{m}a_i^2-4\sum_{i=1}^{m}a_i^2$$
là số chính phương.
PDF được cung cấp không ghi thời gian làm bài. Bản này dùng 240 phút mỗi buổi theo yêu cầu của người dùng, tổng 480 phút cho hai buổi; đây là quy ước biên tập. Nguồn được cung cấp không ghi điểm từng bài. Mỗi bài dùng 1 điểm biên tập để tương thích khi nhập; đây không phải thang điểm chính thức. Bài tự luận chấm thủ công; hướng dẫn chấm là biên tập. Hệ số nhập: đúng 1, sai 0, bỏ trống 0.
Cho tam giác $ABC$ cân với $AB=AC$. Gọi $O$ là một điểm thay đổi trên đường thẳng $BC$ thoả mãn tâm $O$ của đường tròn bán kính $OA$ không nhận các đường thẳng $AB$ và $AC$ làm tiếp tuyến. Các đường thẳng $AB,AC$ cắt các đường tròn ở $M,N$ tương ứng. Hãy xác định quỹ tích trực tâm của tam giác $AMN$.
Cho $m\lt 2001$ và $n\lt 2002$ là các số nguyên dương. Một tập hợp các số thực phân biệt được sắp xếp trong một bảng với $2001$ hàng và $2002$ cột. Một số trong bảng được gọi là xấu nếu như nó bé hơn ít nhất $m$ số trong cùng một cột và ít nhất $n$ số trong cùng một dòng. Hỏi rằng số lớn nhất có thể của số xấu là bao nhiêu?
Cho $n$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng phương trình
$$\frac1{x-1}+\frac1{2^2x-1}+\cdots+\frac1{n^2x-1}=\frac12$$
có nghiệm duy nhất $x_n\gt 1$. Chứng minh rằng khi $n$ tiến ra vô hạn thì $x_n$ tiến đến $4$.