Cho hàm số $f$ xác định trên $\mathbb R$. Giả sử với mọi số thực $c>0$ tồn tại đa thức $P_c$ hệ số thực sao cho
$$|f(x)-P_c(x)|\le cx^{1998}\qquad(x\in\mathbb R).$$
Chứng minh rằng $f$ là một đa thức hệ số thực.
Nguồn được cung cấp không ghi điểm từng bài. Mỗi bài dùng 1 điểm biên tập để tương thích khi nhập; đây không phải thang điểm chính thức.
Trong mặt phẳng cho đường tròn $(C)$ bán kính $R$ chứa và tiếp xúc trong với đường tròn $(C')$ bán kính $R/2$. Gọi $H$ là họ các đường tròn ở bên trong $(C)$, bên ngoài $(C')$ và tiếp xúc với cả hai. Với mỗi số nguyên $n\ge3$ và các số thực dương $p_1,p_n$, chứng minh rằng
$$(p_1-p_n)^2=(n-1)^2\bigl(2(p_1+p_n)-(n-1)^2-8\bigr)$$
là điều kiện cần và đủ để có $n$ đường tròn phân biệt $(C_1),\ldots,(C_n)$ thuộc $H$, trong đó $(C_i)$ tiếp xúc ngoài với $(C_{i-1})$ và $(C_{i+1})$ với $i=2,\ldots,n-1$, còn $(C_1)$ và $(C_n)$ có bán kính lần lượt $R/p_1$ và $R/p_n$.
Nguồn được cung cấp không ghi điểm từng bài. Mỗi bài dùng 1 điểm biên tập để tương thích khi nhập; đây không phải thang điểm chính thức.
Cho số nguyên $m>3$. Giả sử $p_1,\ldots,p_k$ là tất cả các số nguyên tố không vượt quá $m$. Chứng minh rằng
$$\sum_{i=1}^k\left(\frac1{p_i}+\frac1{p_i^2}\right)>\ln(\ln m).$$
Nguồn được cung cấp không ghi điểm từng bài. Mỗi bài dùng 1 điểm biên tập để tương thích khi nhập; đây không phải thang điểm chính thức.
Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số nguyên, hệ số bậc cao nhất bằng 1, có tính chất: tồn tại vô số số thực vô tỉ $\alpha$ để $P(\alpha)$ là số nguyên dương.
Nguồn được cung cấp không ghi điểm từng bài. Mỗi bài dùng 1 điểm biên tập để tương thích khi nhập; đây không phải thang điểm chính thức.
Giả sử $d$ là ước dương của $5+1998^{1998}$. Chứng minh rằng $d$ biểu diễn được dưới dạng $d=2x^2+2xy+3y^2$, với $x,y$ nguyên, khi và chỉ khi $d$ chia cho 20 dư 3 hoặc 7.
Nguồn được cung cấp không ghi điểm từng bài. Mỗi bài dùng 1 điểm biên tập để tương thích khi nhập; đây không phải thang điểm chính thức.
Một hội thảo có $n\ge10$ người tham dự. Biết rằng:
1. Mỗi người quen ít nhất $\left\lfloor\frac{n+2}{3}\right\rfloor$ người tham dự khác.
2. Hai người bất kỳ $A,B$ nếu không quen nhau thì quen gián tiếp: có $k\ge1$ người $A_1,\ldots,A_k$ sao cho $A$ quen $A_1$, $A_i$ quen $A_{i+1}$ với $i=1,\ldots,k-1$, và $A_k$ quen $B$.
3. Không thể xếp cả $n$ người thành một hàng ngang sao cho mọi cặp cạnh nhau đều quen nhau.
Chứng minh có thể chia thành hai nhóm: nhóm thứ nhất xếp được quanh một bàn tròn sao cho mọi cặp cạnh nhau đều quen nhau, nhóm thứ hai gồm những người đôi một không quen nhau. (Dấu ngoặc vuông trong nguồn chỉ phần nguyên.)
Nguồn được cung cấp không ghi điểm từng bài. Mỗi bài dùng 1 điểm biên tập để tương thích khi nhập; đây không phải thang điểm chính thức.
Cho $O$ là tâm của hình cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$. Giả sử rằng $A',B',C',D'$ là các điểm trên mặt cầu ngoại tiếp đó sao cho $AA',BB',CC',DD'$ là các đường kính. Kí hiệu $A''$ là trọng tâm của tam giác $BCD$. Các điểm $B'',C'',D''$ xác định tương tự. Chứng minh rằng các đường thẳng $A'A'',B'B'',C'C'',D'D''$ là đồng quy. Giả sử rằng chúng gặp nhau tại $X$. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua điểm $X$ và trung điểm của đoạn thẳng $AB$ là vuông góc với $CD$.
Cho dãy $a_0,a_1,a_2,\ldots$ được xác định bởi $a_0=20$, $a_1=100$,
$$a_{n+2}=4a_{n+1}+5a_n+20.$$
Hãy xác định số nguyên dương $m$ bé nhất thỏa mãn $a_m-a_0,a_{m+1}-a_1,a_{m+2}-a_2,\ldots$ là chia hết cho $1998$.
Tồn tại hay không một dãy số thực vô hạn $\{x_n\}_{n=1}^{+\infty}$ thỏa mãn $|x_n|\le0.666$ và
$$|x_m-x_n|\ge\frac1{n^2+n+m^2+m}$$
với mọi $m,n$ nguyên dương phân biệt?
Hãy xác định tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại đa thức $p(x)$ với hệ số thực thỏa mãn
$$p\left(x^{1998}+\frac1{x^{1998}}\right)=x^n+\frac1{x^n}.$$