Cho $a\ge0$ và dãy
$$u_1=6,\qquad u_{n+1}=\frac{2n+a}{n}+\sqrt{\frac{n+a}{n}u_n+4}\quad(n\ge1).$$
(a) Với $a=0$, chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn.
(b) Với mọi $a\ge0$, chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn.
Cho tam giác nhọn $ABC$. Các điểm $E,F$ thay đổi trên tia đối của $BA,CA$ tương ứng sao cho $BF=CE$, $E\ne B,F\ne C$. Gọi $M,N$ là trung điểm $BE,CF$, và $D=BF\cap CE$.
(a) Gọi $I,J$ là tâm ngoại tiếp $DBE,DCF$. Chứng minh $MN\parallel IJ$.
(b) Gọi $K$ là trung điểm $MN$, $H$ là trực tâm $AEF$. Chứng minh $HK$ đi qua một điểm cố định.
Với số nguyên dương $n\lt m$, gọi $s(n,m)$ là số số nguyên dương thuộc $[n,m]$ và nguyên tố cùng nhau với $m$. Tìm mọi $m\ge2$ thỏa đồng thời:
(i) $\dfrac{s(n,m)}{m-n}\ge\dfrac{s(1,m)}m$ với mọi $n=1,2,\ldots,m-1$;
(ii) $2022^m+1$ chia hết cho $m^2$.
Cho hai đa thức không hằng $P,Q$ có hệ số nguyên không âm. Mọi hệ số của $P$ không vượt 2021, còn $Q$ có ít nhất một hệ số lớn hơn 2021. Giả sử $P(2022)=Q(2022)$ và hai đa thức có chung nghiệm hữu tỉ khác không $p/q$, với $p,q\in\mathbb Z$ nguyên tố cùng nhau. Chứng minh
$$|p|+n|q|\le Q(n)-P(n)\qquad(n=1,2,\ldots,2021).$$
Gieo bốn con súc sắc cân đối, đồng chất. Gọi $x_i\in\{1,2,\ldots,6\}$ là số chấm của con thứ $i$, $i=1,2,3,4$.
(a) Tính số bộ $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ có thể có.
(b) Tính xác suất một số bằng tổng ba số còn lại.
(c) Tính xác suất chia bốn số thành hai nhóm có tổng bằng nhau.
Cho $B,C$ cố định trên đường tròn $(O)$, $BC$ không qua $O$. Điểm $A$ thay đổi trên cung lớn $BC$ sao cho $AB\ne AC$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC$ tại $D$. Gọi $I_a$ là tâm bàng tiếp góc $A$, $L=I_aD\cap OI$, và $E\in(I)$ sao cho $DE\parallel AI$.
(a) Gọi $F=LE\cap AI$. Chứng minh $AF=AI$.
(b) Trên đường tròn ngoại tiếp $(J)$ của $I_aBC$, lấy $M$ sao cho $I_aM\parallel AD$. $MD$ cắt lại $(J)$ tại $N$. Chứng minh trung điểm $T$ của $MN$ thuộc một đường tròn cố định.