Cho dãy số thực $(x_n)$ có $x_1\in(0,1/2)$ và
$$x_{n+1}=3x_n^2-2n x_n^3\qquad(n\ge1).$$
a) Chứng minh $\lim_{n\to\infty}x_n=0$.
b) Với mỗi $n\ge1$, đặt $y_n=x_1+2x_2+\cdots+nx_n$. Chứng minh rằng dãy $(y_n)$ có giới hạn hữu hạn.
Cho tam giác nhọn không cân $ABC$ có trực tâm $H$ và $D,E,F$ lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh $A,B,C$. Gọi $(I)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $HEF$ với tâm $I$ và $K,J$ lần lượt là trung điểm $BC,EF$. Cho $HJ$ cắt lại $(I)$ tại $G$, $GK$ cắt lại $(I)$ tại $L$.
a) Chứng minh $AL$ vuông góc với $EF$.
b) Cho $AL$ cắt $EF$ tại $M$, $IM$ cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác $IEF$ tại $N$, $DN$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $P,Q$. Chứng minh $PE,QF,AK$ đồng quy.
Với số nguyên $n\ge2$, gọi $s(n)$ là tổng các số nguyên dương không vượt quá $n$ và không nguyên tố cùng nhau với $n$.
a) Chứng minh $s(n)=\frac n2\bigl(n+1-\varphi(n)\bigr)$, trong đó $\varphi(n)$ là số các số nguyên dương không vượt quá $n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$.
b) Chứng minh không tồn tại số nguyên $n\ge2$ thỏa mãn $s(n)=s(n+2021)$.
Cho đa thức $P(x)=a_{21}x^{21}+a_{20}x^{20}+\cdots+a_1x+a_0$ có các hệ số thuộc $[1011,2021]$. Biết $P(x)$ có nghiệm nguyên và có số dương $c$ sao cho $|a_{k+2}-a_k|\le c$ với mọi $k\in\{0,1,\ldots,19\}$.
a) Chứng minh rằng $P(x)$ có đúng một nghiệm nguyên.
b) Chứng minh $\sum_{k=0}^{10}(a_{2k+1}-a_{2k})^2\le440c^2$.
Một học sinh chia tất cả $30$ viên bi vào $5$ cái hộp được đánh số $1,2,3,4,5$ (sau khi chia có thể có hộp không có viên bi nào).
a) Hỏi có bao nhiêu cách chia (hai cách khác nhau nếu có một hộp có số bi khác nhau)?
b) Sau khi chia, học sinh sơn $30$ viên bi bởi một số màu, mỗi viên đúng một màu, một màu có thể sơn nhiều viên, sao cho không có hai viên trong cùng một hộp sơn cùng màu và từ hai hộp bất kỳ không thể chọn tám viên được sơn bởi bốn màu. Chứng minh với mọi cách chia, học sinh đều phải dùng không ít hơn mười màu.
c) Chỉ ra một cách chia sao cho với đúng mười màu có thể sơn bi thỏa các điều kiện ở b).
Cho tam giác nhọn không cân $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $D$ là giao điểm hai tiếp tuyến của $(O)$ tại $B,C$. Đường tròn đi qua $A$ và tiếp xúc với $BC$ tại $B$ cắt trung tuyến đi qua $A$ của tam giác $ABC$ tại $G$. Cho $BG,CG$ lần lượt cắt $CD,BD$ tại $E,F$.
a) Đường thẳng đi qua trung điểm của $BE,CF$ lần lượt cắt $BF,CE$ tại $N,M$. Chứng minh $A,D,M,N$ cùng thuộc một đường tròn.
b) Cho $AD,AG$ lần lượt cắt lại đường tròn ngoại tiếp các tam giác $DBC,GBC$ tại $H,K$. Trung trực của $HK,HE,HF$ lần lượt cắt $BC,CA,AB$ tại $R,P,Q$. Chứng minh $R,P,Q$ thẳng hàng.