Cho tam giác $ABC$ với $BC=a,CA=b,AB=c$. Lấy sáu điểm phân biệt $A_1,A_2,B_1,B_2,C_1,C_2$ không trùng với $A,B,C$ sao cho $A_1,A_2$ nằm trên đường thẳng $BC$; $B_1,B_2$ nằm trên đường thẳng $CA$; $C_1,C_2$ nằm trên đường thẳng $AB$. Các số thực $\alpha,\beta,\gamma$ được xác định bởi
$$\overrightarrow{A_1A_2}=\frac\alpha a\overrightarrow{BC},\quad \overrightarrow{B_1B_2}=\frac\beta b\overrightarrow{CA},\quad \overrightarrow{C_1C_2}=\frac\gamma c\overrightarrow{AB}.$$
Xét các đường tròn ngoại tiếp $AB_1C_1,AB_2C_2,BC_1A_1,BC_2A_2,CA_1B_1,CA_2B_2$. Gọi $d_A,d_B,d_C$ lần lượt là trục đẳng phương của cặp đường tròn qua $A$, cặp qua $B$, cặp qua $C$. Chứng minh ba trục đồng quy khi và chỉ khi $a\alpha+b\beta+c\gamma\ne0$.
Nguồn được cung cấp không ghi điểm từng bài. Mỗi bài dùng 1 điểm biên tập để tương thích khi nhập; đây không phải thang điểm chính thức. Bài tự luận được chấm thủ công; hướng dẫn chấm là biên tập. Hệ số bộ nhập: đúng 1, sai 0, bỏ trống 0.
Tìm tất cả các số nguyên $k$ sao cho có vô số giá trị nguyên $n\ge3$ để đa thức $$P_n(x)=x^{n+1}+kx^n-870x^2+1945x+1995$$ phân tích được thành tích của hai đa thức hệ số nguyên, mỗi đa thức có bậc ít nhất một.
Bài tự luận được chấm thủ công; hướng dẫn chấm là biên tập. Hệ số bộ nhập: đúng 1, sai 0, bỏ trống 0.
Trong không gian cho $n\ge2$ điểm mà không có bốn điểm nào đồng phẳng và $\tfrac12(n^2-3n+4)$ đoạn thẳng có mọi đầu mút trong số các điểm đó. Biết rằng có ít nhất một đoạn mà sau khi bỏ nó đi, giữ nguyên các đầu mút, sẽ tồn tại hai điểm phân biệt không phải hai đầu mút của bất kỳ đường gấp khúc nào tạo bởi các đoạn còn lại. Tìm số $k$ lớn nhất sao cho có $k$ đoạn đã cho tạo thành đường gấp khúc khép kín mà mỗi đỉnh là mút của đúng hai đoạn thuộc đường gấp khúc đó.
Bài tự luận được chấm thủ công; hướng dẫn chấm là biên tập. Hệ số bộ nhập: đúng 1, sai 0, bỏ trống 0.
Với mỗi số nguyên không âm $n$, đặt $f(n)$ là số nguyên không âm lớn nhất sao cho $2^{f(n)}$ là ước của $n+1$. Cặp số nguyên không âm $(n,p)$ gọi là đẹp nếu $2^{f(n)}>p$. Tìm tất cả bộ ba số nguyên không âm $(n,p,q)$ sao cho $(n,p)$, $(p,q)$ và $(n+p+q,n)$ đều đẹp.
Bài tự luận được chấm thủ công; hướng dẫn chấm là biên tập. Hệ số bộ nhập: đúng 1, sai 0, bỏ trống 0.
Cho hàm số thực $$f(x)=\frac{2x^3-3}{3(x^2-1)}.$$ 1. Chứng minh tồn tại hàm $g$ liên tục trên $\mathbb R$ thỏa mãn đồng thời $f(g(x))=x$ và $g(x)>x$ với mọi $x$ thực. 2. Chứng minh tồn tại số thực $a>1$ để dãy $a_0=a$, $a_{n+1}=f(a_n)$ với mọi số nguyên $n\ge0$ tuần hoàn với chu kỳ dương nhỏ nhất bằng $1995$. Hàm phân thức có miền xác định tự nhiên $\mathbb R\setminus\{-1,1\}$.
Bài tự luận được chấm thủ công; hướng dẫn chấm là biên tập. Hệ số bộ nhập: đúng 1, sai 0, bỏ trống 0.
Dãy số nguyên $\{a_n\}_{n=0}^{+\infty}$ được xác định bởi $a_0=1$, $a_1=3$ và
$$a_{n+2}=\begin{cases}a_{n+1}+9a_n,&n=2k,\\ 9a_{n+1}+5a_n,&n=2k+1.\end{cases}$$
Chứng minh rằng $a_{1995}^2+a_{1996}^2+a_{1997}^2+a_{1998}^2+a_{1999}^2+a_{2000}^2$ chia hết cho $20$, và rằng không có số hạng $a_{2m+1}$ là số chính phương.
Cho tam giác $ABC$ với các đường cao $AD,BE,CF$. Các điểm $A',B',C'$ trên $AD,BE,CF$ sao cho
$$\frac{AA'}{AD}=\frac{BB'}{BE}=\frac{CC'}{CF}=k.$$
Hãy xác định tất cả các số $k$ để tam giác $A'B'C'$ đồng dạng với tam giác $ABC$.
Cho tứ diện $ABCD$. $A'$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp mặt đối diện đỉnh $A$. Các điểm $B',C',D'$ xác định tương tự. $p_A$ là mặt phẳng đi qua $A$ vuông góc với $C'D'$, $p_B$ là mặt phẳng đi qua $B$ và vuông góc với $D'A'$, $p_C$ là mặt phẳng đi qua $C$ và vuông góc với $A'B'$. Cuối cùng $p_D$ là mặt phẳng đi qua $D$ và vuông góc với $B'C'$. Chứng minh rằng bốn mặt phẳng nói trên có điểm chung. Hỏi rằng nếu điểm chung đó trùng với tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ thì tứ diện đó phải đều có đúng không? Giải thích câu trả lời của bạn.
Hãy xác định tất cả các đa thức $p(x)$ thỏa mãn $p(x)=a$ có hơn $1995$ nghiệm thực, tất cả lớn hơn $1995$, với mọi $a\gt 1995$ (nếu nghiệm nào đó có bội thì nó cũng được tính thành các nghiệm với số bội đó).
Có bao nhiêu cách để tô màu các đỉnh của $2n$ đa giác đều với $n$ màu, sao cho mỗi đỉnh được tô một màu, và bất kì màu được dùng cho hai đỉnh không kề nhau? Hai cách tô màu được coi là như nhau nếu cách này được nhận từ cách kia sau một phép quay.