Gọi hình chữ nhật kích thước $2\times3$ (hoặc $3\times2$) bị cắt bỏ một hình vuông $1\times1$ ở một góc là hình chữ nhật khuyết đơn (Hình 1). Gọi hình chữ nhật cùng kích thước bị cắt bỏ hai hình vuông $1\times1$ ở hai góc đối diện là hình chữ nhật khuyết kép (Hình 2). Ghép một số hình vuông $2\times2$, một số hình chữ nhật khuyết đơn và một số hình chữ nhật khuyết kép, không chờm lên nhau, thành hình chữ nhật $1993\times2000$. Gọi $s$ là tổng số hình vuông $2\times2$ và hình chữ nhật khuyết kép đã dùng. Tìm giá trị lớn nhất của $s$.
Các mảnh được hiểu trên lưới ô vuông đơn vị như hình vẽ của nguồn.
PDF được cung cấp không ghi thời gian làm bài. Bản này dùng 240 phút mỗi buổi theo yêu cầu của người dùng, tổng 480 phút cho hai buổi; đây là quy ước biên tập. Nguồn được cung cấp không ghi điểm từng bài. Mỗi bài dùng 1 điểm biên tập để tương thích khi nhập; đây không phải thang điểm chính thức. Bài tự luận được chấm thủ công; hướng dẫn chấm là biên tập. Hệ số của bộ nhập: đúng 1, sai 0, bỏ trống 0.
Cho dãy $a_1=1$, $a_{n+1}=a_n+\dfrac1{\sqrt{a_n}}$ với mọi số nguyên $n\ge1$. Tìm tất cả số thực $\alpha$ sao cho dãy $u_n=\dfrac{a_n^\alpha}{n}$ có giới hạn hữu hạn khác $0$ khi $n\to+\infty$.
PDF được cung cấp không ghi thời gian làm bài. Bản này dùng 240 phút mỗi buổi theo yêu cầu của người dùng, tổng 480 phút cho hai buổi; đây là quy ước biên tập. Nguồn được cung cấp không ghi điểm từng bài. Mỗi bài dùng 1 điểm biên tập để tương thích khi nhập; đây không phải thang điểm chính thức. Bài tự luận được chấm thủ công; hướng dẫn chấm là biên tập. Hệ số của bộ nhập: đúng 1, sai 0, bỏ trống 0.
Các số thực $x_1,x_2,x_3,x_4$ thỏa mãn $\tfrac12\le x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2\le1$. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
$$A=(x_1-2x_2+x_3)^2+(x_2-2x_3+x_4)^2+(x_2-2x_1)^2+(x_3-2x_4)^2.$$
PDF được cung cấp không ghi thời gian làm bài. Bản này dùng 240 phút mỗi buổi theo yêu cầu của người dùng, tổng 480 phút cho hai buổi; đây là quy ước biên tập. Nguồn được cung cấp không ghi điểm từng bài. Mỗi bài dùng 1 điểm biên tập để tương thích khi nhập; đây không phải thang điểm chính thức. Bài tự luận được chấm thủ công; hướng dẫn chấm là biên tập. Hệ số của bộ nhập: đúng 1, sai 0, bỏ trống 0.
Gọi $H,I,O$ theo thứ tự là trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp của một tam giác. Chứng minh $2IO\ge IH$. Hỏi dấu bằng xảy ra khi nào?
PDF được cung cấp không ghi thời gian làm bài. Bản này dùng 240 phút mỗi buổi theo yêu cầu của người dùng, tổng 480 phút cho hai buổi; đây là quy ước biên tập. Nguồn được cung cấp không ghi điểm từng bài. Mỗi bài dùng 1 điểm biên tập để tương thích khi nhập; đây không phải thang điểm chính thức. Bài tự luận được chấm thủ công; hướng dẫn chấm là biên tập. Hệ số của bộ nhập: đúng 1, sai 0, bỏ trống 0.
Cho số nguyên $k>1$. Với mỗi số nguyên $n>1$, đặt
$$f(n)=kn\prod_{j=1}^r\left(1-\frac1{p_j}\right),$$
trong đó $p_1,\ldots,p_r$ là tất cả các ước nguyên tố phân biệt của $n$. Tìm tất cả $k$ để, với mọi số nguyên $a>1$, dãy $x_0=a$, $x_{m+1}=f(x_m)$ ($m=0,1,2,\ldots$) là dãy bị chặn.
PDF được cung cấp không ghi thời gian làm bài. Bản này dùng 240 phút mỗi buổi theo yêu cầu của người dùng, tổng 480 phút cho hai buổi; đây là quy ước biên tập. Nguồn được cung cấp không ghi điểm từng bài. Mỗi bài dùng 1 điểm biên tập để tương thích khi nhập; đây không phải thang điểm chính thức. Bài tự luận được chấm thủ công; hướng dẫn chấm là biên tập. Hệ số của bộ nhập: đúng 1, sai 0, bỏ trống 0.
Xét $n$ điểm $A_1,\ldots,A_n$ trong không gian, $n>2$, không có bốn điểm nào đồng phẳng. Nối mỗi cặp điểm phân biệt bằng một đoạn thẳng. Tìm giá trị lớn nhất của $n$ sao cho có thể tô tất cả các đoạn đó bằng hai màu xanh, đỏ thỏa mãn:
1. Mỗi đoạn thẳng được tô đúng một màu.
2. Với mỗi $A_i$, số đoạn xanh có một đầu mút tại $A_i$ không vượt quá 4.
3. Với mỗi đoạn đỏ $A_iA_j$, tồn tại $A_k$ khác cả $A_i,A_j$ sao cho $A_kA_i$ và $A_kA_j$ đều xanh.
PDF được cung cấp không ghi thời gian làm bài. Bản này dùng 240 phút mỗi buổi theo yêu cầu của người dùng, tổng 480 phút cho hai buổi; đây là quy ước biên tập. Nguồn được cung cấp không ghi điểm từng bài. Mỗi bài dùng 1 điểm biên tập để tương thích khi nhập; đây không phải thang điểm chính thức. Bài tự luận được chấm thủ công; hướng dẫn chấm là biên tập. Hệ số của bộ nhập: đúng 1, sai 0, bỏ trống 0.
Cho $ABCD$ là tứ giác thoả mãn $AB$ không song song với $CD$ và $BC$ không song song với $AD$. Các điểm $P,Q,R,S$ thay đổi được lấy trên $AB,BC,CD,DA$ tương ứng sao cho $PQRS$ là hình bình hành. Hãy xác định quỹ tích tâm của hình bình hành đó.
Cho tứ diện $ABCD$ với các đỉnh nằm trên một mặt cầu cố định $S$. Hãy xác định tất cả các vị trí có thể của tứ diện để biểu thức $AB^2+AC^2+AD^2-BC^2-BD^2-CD^2$ [đề in kết thúc tại đây].
Có $1993$ điểm được sắp xếp trên đường tròn. Tại thời điểm ban đầu mỗi điểm được gán tuỳ ý các số là $+1$ hoặc là $-1$. Tại lần thứ $n=1,2,3,\ldots$, các đỉnh sẽ được thay nhãn. Vào lần thứ $n$ một đỉnh được gán số $+1$ nếu như hai số lân cận có cùng số gắn liền ở lần thứ $n-1$. Chứng minh rằng đến một lần $n$ nào đó thì tất cả các số đều bằng $1$.
Người ta xác định dãy $a_0,a_1,a_2,\ldots$ và $b_0,b_1,b_2,\ldots$ thoả mãn $a_0=2$, $b_0=1$,
$$a_{n+1}=\frac{2a_nb_n}{a_n+b_n},\qquad b_{n+1}=\sqrt{a_{n+1}b_n}.$$
Hãy xác định hai dãy trên hội tụ cùng có giới hạn và hãy xác định giới hạn của chúng.
