Có 2026 số nguyên lớn hơn 1 được viết trên bảng đen, không nhất thiết phải khác nhau. Trong một nước đi, Khổng Tử chọn hai số nguyên $m\gt 1$ và $n\gt 1$ từ các vị trí khác nhau trên bảng đen và thay thế hai số nguyên này bằng
Giả sử $ABC$ là một tam giác và đặt các điểm $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$ và $AC$. Giả sử các điểm $K$ và $L$ được chọn hoàn toàn bên trong các tam giác $BMC$ và $BNC$, sao cho $K$ nằm hoàn toàn bên trong tam giác $ABL$ và $L$ nằm hoàn toàn bên trong tam giác $AKC$. Giả sử rằng
Cho số nguyên dương $n$. Lưu Bang và Hạng Vũ muốn chia nhau một thanh gỗ dài 1. Lưu Bang đánh dấu nhiều nhất $n$ điểm trên thanh, sau đó Hạng Vũ đánh dấu nhiều nhất $n$ điểm. Tất cả các điểm đánh dấu đều phân biệt. Thanh gỗ được cắt tại mọi điểm đã đánh dấu, tạo thành một số đoạn. Hai người lần lượt chọn một đoạn chưa được nhận, Lưu Bang đi trước. Mỗi người muốn tối đa hóa tổng độ dài các đoạn mình nhận. Với mỗi $n$, tìm giá trị lớn nhất $c$ sao cho Lưu Bang có thể bảo đảm tổng độ dài ít nhất $c$, bất kể cách chơi của Hạng Vũ.
Shan-Yu và Mulan đang chơi một trò chơi. Giả sử $\theta$ là một góc có $0^\circ\lt \theta\lt 180^\circ$ được cả hai người chơi biết. Ban đầu, Shan-Yu làm một hình tam giác bằng giấy $T$ với kích thước và các góc tùy ý do mình chọn. Sau đó, họ liên tục thực hiện các bước sau:
• Nếu $T$ có ít nhất một góc đo chính xác $\theta$ thì trò chơi dừng và Mulan thắng.
• Mặt khác, Mulan chọn một điểm $P$ trên chu vi $T$, khác với ba đỉnh của nó. Sau đó, cô ấy thực hiện một đường cắt thẳng từ $P$ đến đỉnh đối diện của $T$, chia nó thành hai hình tam giác.
• Shan-Yu loại bỏ một trong hai hình tam giác. Tam giác còn lại trở thành $T$ mới.
Với giá trị thực nào của $\theta$ Mulan có thể đảm bảo chiến thắng của mình trong hữu hạn nhiều bước, bất kể Shan-Yu chơi như thế nào?
Giả sử $a_1,a_2,a_3,\ldots$ là vô hạn dãy gồm các số nguyên dương lớn hơn 1. Giả sử rằng với tất cả các số nguyên dương $n$, số $a_{n+1}$ là số nguyên dương nhỏ nhất lớn hơn $a_n$ sao cho $\gcd(a_{n+1},a_i)\gt 1$ với mọi $i=1,2,\ldots,n$. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên dương $T$ và $L$ sao cho
$$a_{n+T}=a_n+L$$
với mọi số nguyên dương $n$. Ở đây $\gcd(x,y)$ biểu thị ước số chung lớn nhất của số nguyên dương $x,y$.
Đặt $\Omega$ và $\Gamma$ lần lượt là các đường tròn có tâm $M$ và $N$ sao cho bán kính $\Omega$ nhỏ hơn bán kính $\Gamma$. Giả sử $\Omega$ và $\Gamma$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$. Đường $MN$ cắt $\Omega$ tại $C$ và $\Gamma$ tại $D$, sao cho $C$, $M$, $N$, $D$ nằm trên $MN$ theo thứ tự đó. Đặt $P$ là tâm ngoại tiếp của tam giác $ACD$. Đường thẳng $AP$ gặp lại $\Omega$ tại $E \neq A$ và gặp lại $\Gamma$ tại $F \neq A$. Đặt $H$ là trực tâm của tam giác $PMN$.
Chứng minh rằng đường thẳng qua $H$ song song với $AP$ tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp của tam giác $BEF$. trực tâm của một tam giác là giao điểm của các đường cao của nó.
Một vô hạn dãy $a_1$, $a_2$, … bao gồm các số nguyên dương, mỗi số có ít nhất ba ước thực sự. Giả sử rằng với mỗi $n\geq 1$, $a_{n+1}$ là tổng của ba ước thực sự lớn nhất của $a_n$. Xác định tất cả các giá trị có thể có của $a_1$. Ước thực sự của một số nguyên dương là một ước số dương khác với chính số nguyên đó.
Alice và Bazza đang chơi *inekoalaty*, một trò chơi hai người chơi có quy tắc phụ thuộc vào một số thực dương $\lambda$ mà cả hai người chơi đều biết. Vào lượt thứ $n$ của trò chơi (bắt đầu với $n=1$), điều sau đây sẽ xảy ra:
• Nếu $n$ là số lẻ, Alice chọn số thực không âm $x_n$ sao cho $$
x_1 + x_2 + \cdots + x_n \le \lambda n.
$$
• Nếu $n$ là số chẵn, Bazza chọn số thực không âm $x_n$ sao cho $$
x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 \le n.
$$
Nếu người chơi không thể chọn $x_n$ phù hợp, trò chơi kết thúc và người chơi kia thắng. Nếu trò chơi tiếp tục mãi thì không có người chơi nào thắng. Tất cả các số đã chọn đều được cả hai người chơi biết.
Xác định tất cả các giá trị của $\lambda$ mà Alice có chiến lược thắng và tất cả những giá trị mà Bazza có chiến lược thắng.
Xét bảng $2025 \times 2025$ ô vuông đơn vị. Matilda muốn đặt lên bảng một số viên gạch hình chữ nhật, có thể khác kích thước, sao cho mỗi cạnh của mỗi viên gạch nằm trên một đường lưới và mỗi ô vuông đơn vị được phủ bởi nhiều nhất một viên gạch.
Tìm số viên gạch ít nhất cần đặt sao cho mỗi hàng và mỗi cột có đúng một ô vuông đơn vị không được viên gạch nào phủ.
Tìm tất cả số thực $\alpha$ sao cho với mọi số nguyên dương $n$, số nguyên
$$\lfloor\alpha\rfloor+\lfloor2\alpha\rfloor+\cdots+\lfloor n\alpha\rfloor$$
là bội của $n$. Ký hiệu $\lfloor z\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $z$; ví dụ $\lfloor-\pi\rfloor=-4$ và $\lfloor2\rfloor=\lfloor2.9\rfloor=2$.
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a,b)$ sao cho tồn tại các số nguyên dương $g,N$ với
$$\gcd(a^n+b,b^n+a)=g$$
đúng với mọi số nguyên $n\geq N$. Ký hiệu $\gcd(x,y)$ là ước chung lớn nhất của hai số nguyên $x,y$.
Cho dãy vô hạn số nguyên dương $a_1,a_2,a_3,\ldots$ và số nguyên dương $N$. Giả sử với mọi $n\gt N$, $a_n$ bằng số lần $a_{n-1}$ xuất hiện trong danh sách $a_1,a_2,\ldots,a_{n-1}$.
Chứng minh ít nhất một trong hai dãy $a_1,a_3,a_5,\ldots$ và $a_2,a_4,a_6,\ldots$ là tuần hoàn kể từ một chỉ số nào đó. Một dãy $b_1,b_2,\ldots$ có tính chất này nếu tồn tại các số nguyên dương $p,M$ sao cho $b_{m+p}=b_m$ với mọi $m\geq M$.
Cho tam giác $ABC$ với $AB\lt AC\lt BC$. Gọi $I,\omega$ lần lượt là tâm và đường tròn nội tiếp. Gọi $X$ là điểm trên đường thẳng $BC$, khác $C$, sao cho đường thẳng qua $X$ song song với $AC$ tiếp xúc với $\omega$. Tương tự, gọi $Y$ là điểm trên đường thẳng $BC$, khác $B$, sao cho đường thẳng qua $Y$ song song với $AB$ tiếp xúc với $\omega$. Đường thẳng $AI$ cắt lại đường tròn ngoại tiếp $ABC$ tại $P\ne A$. Gọi $K,L$ lần lượt là trung điểm của $AC,AB$.
Chứng minh $\angle KIL+\angle YPX=180^\circ$.
Ốc sên Turbo chơi trên bảng có $2024$ hàng và $2023$ cột. Có quái vật ẩn trong $2022$ ô. Ban đầu Turbo không biết vị trí của chúng, nhưng biết mỗi hàng trừ hàng đầu và cuối có đúng một quái vật, và mỗi cột có nhiều nhất một quái vật.
Turbo thực hiện các lần thử đi từ hàng đầu đến hàng cuối. Mỗi lần, nó bắt đầu ở một ô tùy ý của hàng đầu, rồi đi từng bước sang ô kề chung cạnh; nó được phép quay lại ô đã đi qua. Nếu gặp ô có quái vật, lần thử kết thúc và Turbo trở về hàng đầu để bắt đầu lần mới. Các quái vật không di chuyển, và Turbo nhớ những ô đã đi qua có quái vật hay không. Nếu tới bất kỳ ô nào ở hàng cuối, lần thử kết thúc và trò chơi kết thúc.
Tìm số nguyên nhỏ nhất $n$ sao cho Turbo có chiến lược bảo đảm tới hàng cuối không muộn hơn lần thử thứ $n$, bất kể vị trí các quái vật.
Gọi $\mathbb Q$ là tập số hữu tỉ. Hàm $f:\mathbb Q\to\mathbb Q$ được gọi là aquaesulian nếu với mọi $x,y\in\mathbb Q$, ít nhất một trong hai đẳng thức sau đúng:
$$f(x+f(y))=f(x)+y\quad\lor\quad f(f(x)+y)=x+f(y).$$
Chứng minh tồn tại số nguyên $c$ sao cho với mọi hàm aquaesulian $f$, có không quá $c$ số hữu tỉ khác nhau dạng $f(r)+f(-r)$, với $r\in\mathbb Q$; tìm giá trị nhỏ nhất của $c$.
Tìm tất cả hợp số $n\gt 1$ có tính chất sau: nếu các ước dương của $n$ được sắp thành $1=d_1\lt d_2\lt \cdots\lt d_k=n$ thì $d_i$ là ước của $d_{i+1}+d_{i+2}$ với mọi $1\leq i\leq k-2$.
Cho tam giác nhọn $ABC$ với $AB\lt AC$, có đường tròn ngoại tiếp $\Omega$. Gọi $S$ là trung điểm cung $CB$ chứa $A$ của $\Omega$. Đường vuông góc từ $A$ xuống $BC$ cắt $BS$ tại $D$ và cắt lại $\Omega$ tại $E\ne A$. Đường thẳng qua $D$ song song với $BC$ cắt $BE$ tại $L$. Gọi $\omega$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $BDL$, cắt lại $\Omega$ tại $P\ne B$.
Chứng minh tiếp tuyến của $\omega$ tại $P$ cắt $BS$ tại một điểm nằm trên đường phân giác trong của góc $BAC$.