Sáu điểm được chọn trên các cạnh của một tam giác đều $ABC$: $A_1$, $A_2$ trên $BC$, $B_1$, $B_2$ trên $CA$ và $C_1$, $C_2$ trên $AB$, sao cho chúng là các đỉnh của một hình lục giác lồi $A_1A_2B_1B_2C_1C_2$ có độ dài các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng các đường thẳng $A_1B_2$, $B_1C_2$ và $C_1A_2$ đồng quy.
Cho $a_1$, $a_2$, … là một dãy số nguyên có vô số số hạng dương và âm. Giả sử rằng với mọi số nguyên dương $n$ các số $a_1$, $a_2$, …, $a_n$ để lại $n$ các số dư khác nhau khi chia cho $n$. Chứng minh rằng mọi số nguyên đều xuất hiện đúng một lần trong dãy.
Cho tứ giác lồi cố định $ABCD$ với $BC=DA$ và $\overline{BC} \nparallel \overline{DA}$. Hai điểm thay đổi $E$ và $F$ lần lượt nằm trên các cạnh $BC$ và $DA$, thỏa mãn $BE=DF$. Các đường thẳng $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $P$, $BD$ và $EF$ cắt nhau tại $Q$, $EF$ và $AC$ cắt nhau tại $R$. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp tam giác $PQR$, khi $E$ và $F$ thay đổi, có một điểm chung cố định khác $P$.
Trong một cuộc thi toán, các thí sinh được giao $6$ bài toán. Với mỗi cặp bài toán, có hơn $\frac{2}{5}$ số thí sinh giải được cả hai bài. Không ai giải được cả sáu bài. Chứng minh rằng có ít nhất $2$ thí sinh, mỗi người giải được đúng $5$ bài.