Cho tam giác $ABC$ và tâm $J$ của đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh $A$. Đường tròn này tiếp xúc cạnh $BC$ tại $M$ và các đường thẳng $AB$, $AC$ lần lượt tại $K$, $L$. Các đường thẳng $LM$ và $BJ$ cắt nhau tại $F$, còn $KM$ và $CJ$ cắt nhau tại $G$. Gọi $S$ là giao điểm của $AF$ và $BC$, $T$ là giao điểm của $AG$ và $BC$. Chứng minh rằng $M$ là trung điểm của $\overline{ST}$.
Trò chơi đoán kẻ nói dối là trò chơi được chơi giữa hai người chơi $A$ và $B$. Luật chơi phụ thuộc vào hai số nguyên dương cố định $k$ và $n$ mà cả hai người chơi đều biết.
Khi bắt đầu trò chơi $A$ chọn số nguyên $x$ và $N$ với $1 \le x \le N$. Người chơi $A$ giữ bí mật $x$ và nói sự thật về $N$ với người chơi $B$. Người chơi $B$ hiện cố gắng lấy thông tin về $x$ bằng cách đặt câu hỏi cho người chơi $A$ như sau: mỗi câu hỏi bao gồm $B$ chỉ định một tập hợp $S$ số nguyên dương tùy ý (có thể là một số được chỉ định trong một số câu hỏi trước đó) và hỏi $A$ liệu $x$ có thuộc về $S$ hay không. Người chơi $B$ có thể hỏi bao nhiêu câu hỏi tùy thích. Sau mỗi câu hỏi, người chơi $A$ phải trả lời ngay có hoặc không, nhưng được phép nói dối bao nhiêu lần tùy thích; hạn chế duy nhất là, trong số $k+1$ câu trả lời liên tiếp, ít nhất một câu trả lời phải trung thực.
Sau khi $B$ hỏi bao nhiêu câu hỏi tùy thích, anh ta phải chỉ định một tập hợp $X$ tối đa $n$ số nguyên dương. Nếu $x$ thuộc về $X$ thì $B$ thắng; nếu không, anh ta sẽ thua. Chứng minh rằng:
(a) Nếu $n \ge 2^k$ thì $B$ có thể đảm bảo thắng.
(b) Với tất cả $k$ đủ lớn, tồn tại một số nguyên $n \ge (1.99)^k$ sao cho $B$ không thể đảm bảo thắng.
Tìm tất cả các hàm số $f \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ sao cho, với mọi số nguyên $a$, $b$, $c$ thỏa mãn $a+b+c=0$, đẳng thức sau đúng: $$
f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2 = 2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a).
$$
Đặt $ABC$ là một hình tam giác với $\angle BCA = 90^\circ$ và đặt $D$ là chân đường cao tính từ $C$. Giả sử $X$ là một điểm bên trong đoạn $CD$. Đặt $K$ là điểm trên đoạn $AX$ sao cho $BK = BC$. Tương tự, đặt $L$ là điểm trên đoạn $BX$ sao cho $AL = AC$. Gọi $M = \overline{AL} \cap \overline{BK}$. Chứng minh rằng $MK = ML$.
Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ mà tồn tại các số nguyên không âm $a_1, a_2, \dots, a_n$ sao cho $$
\frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \dots + \frac{1}{2^{a_n}}
= \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \dots + \frac{n}{3^{a_n}}
= 1.
$$