Câu hỏi 1
Tìm tất cả hợp số $n\gt 1$ có tính chất sau: nếu các ước dương của $n$ được sắp thành $1=d_1\lt d_2\lt \cdots\lt d_k=n$ thì $d_i$ là ước của $d_{i+1}+d_{i+2}$ với mọi $1\leq i\leq k-2$.
Ngân hàng câu hỏi IMO 2023
Đề thi
6 câu hỏi
Câu hỏi 2
Cho tam giác nhọn $ABC$ với $AB\lt AC$, có đường tròn ngoại tiếp $\Omega$. Gọi $S$ là trung điểm cung $CB$ chứa $A$ của $\Omega$. Đường vuông góc từ $A$ xuống $BC$ cắt $BS$ tại $D$ và cắt lại $\Omega$ tại $E\ne A$. Đường thẳng qua $D$ song song với $BC$ cắt $BE$ tại $L$. Gọi $\omega$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $BDL$, cắt lại $\Omega$ tại $P\ne B$.
Chứng minh tiếp tuyến của $\omega$ tại $P$ cắt $BS$ tại một điểm nằm trên đường phân giác trong của góc $BAC$.
Chứng minh tiếp tuyến của $\omega$ tại $P$ cắt $BS$ tại một điểm nằm trên đường phân giác trong của góc $BAC$.
Câu hỏi 3
Với mỗi số nguyên $k\geq2$, tìm tất cả các dãy vô hạn số nguyên dương $a_1,a_2,\ldots$ sao cho tồn tại đa thức
$$P(x)=x^k+c_{k-1}x^{k-1}+\cdots+c_1x+c_0,$$
trong đó các hệ số $c_0,c_1,\ldots,c_{k-1}$ là số nguyên không âm, và
$$P(a_n)=a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{n+k}$$
với mọi số nguyên $n\geq1$.
$$P(x)=x^k+c_{k-1}x^{k-1}+\cdots+c_1x+c_0,$$
trong đó các hệ số $c_0,c_1,\ldots,c_{k-1}$ là số nguyên không âm, và
$$P(a_n)=a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{n+k}$$
với mọi số nguyên $n\geq1$.
Câu hỏi 4
Cho các số thực dương đôi một phân biệt $x_1,x_2,\ldots,x_{2023}$ sao cho
$$a_n=\sqrt{(x_1+\cdots+x_n)\left(\frac1{x_1}+\cdots+\frac1{x_n}\right)}$$
là số nguyên với mọi $n=1,2,\ldots,2023$. Chứng minh $a_{2023}\geq3034$.
$$a_n=\sqrt{(x_1+\cdots+x_n)\left(\frac1{x_1}+\cdots+\frac1{x_n}\right)}$$
là số nguyên với mọi $n=1,2,\ldots,2023$. Chứng minh $a_{2023}\geq3034$.
Câu hỏi 5
Cho số nguyên dương $n$. Một tam giác Nhật Bản gồm $1+2+\cdots+n$ hình tròn xếp thành dạng tam giác đều; hàng thứ $i$ có đúng $i$ hình tròn, trong đó đúng một hình tròn được tô đỏ. Một đường ninja là dãy $n$ hình tròn bắt đầu ở hàng trên cùng, mỗi bước đi đến một trong hai hình tròn ngay phía dưới và kết thúc ở hàng cuối cùng. Hình minh họa cho $n=6$ có một đường ninja đi qua hai hình tròn đỏ.
Theo $n$, tìm số nguyên lớn nhất $k$ sao cho mọi tam giác Nhật Bản đều có một đường ninja đi qua ít nhất $k$ hình tròn đỏ.
Hình tổng quan từ tài liệu nguồn:
Theo $n$, tìm số nguyên lớn nhất $k$ sao cho mọi tam giác Nhật Bản đều có một đường ninja đi qua ít nhất $k$ hình tròn đỏ.
Hình tổng quan từ tài liệu nguồn:
Câu hỏi 6
Cho tam giác đều $ABC$. Các điểm $A_1,B_1,C_1$ nằm trong tam giác và thỏa mãn $BA_1=A_1C$, $CB_1=B_1A$, $AC_1=C_1B$ và
$$\angle BA_1C+\angle CB_1A+\angle AC_1B=480^\circ.$$
Gọi $A_2=BC_1\cap CB_1$, $B_2=CA_1\cap AC_1$, $C_2=AB_1\cap BA_1$.
Chứng minh rằng nếu tam giác $A_1B_1C_1$ có ba cạnh đôi một khác nhau thì ba đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AA_1A_2$, $BB_1B_2$, $CC_1C_2$ cùng đi qua hai điểm chung.
$$\angle BA_1C+\angle CB_1A+\angle AC_1B=480^\circ.$$
Gọi $A_2=BC_1\cap CB_1$, $B_2=CA_1\cap AC_1$, $C_2=AB_1\cap BA_1$.
Chứng minh rằng nếu tam giác $A_1B_1C_1$ có ba cạnh đôi một khác nhau thì ba đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AA_1A_2$, $BB_1B_2$, $CC_1C_2$ cùng đi qua hai điểm chung.