(USS) Một kỳ thi olympic toán có ba bài $A,B,C$. Cả $25$ học sinh đều giải được ít nhất một bài. Số học sinh giải được $B$ nhưng không giải được $A$ gấp đôi số học sinh giải được $C$ nhưng không giải được $A$. Số học sinh chỉ giải được $A$ nhiều hơn $1$ so với số học sinh ngoài $A$ còn giải được ít nhất một bài khác. Trong số học sinh chỉ giải được một bài, một nửa giải được $A$. Có bao nhiêu học sinh chỉ giải được $B$?
(HUN) Cho $a,b,c$ là các cạnh và $\alpha,\beta,\gamma$ là các góc đối diện tương ứng của một tam giác thỏa mãn $a+b=\tan\frac\gamma2(a\tan\alpha+b\tan\beta)$. Chứng minh tam giác cân.
(BUL) Chứng minh tổng khoảng cách từ tâm mặt cầu ngoại tiếp một tứ diện đều đến bốn đỉnh nhỏ hơn tổng khoảng cách từ một điểm bất kỳ khác đến bốn đỉnh đó.
(YUG) Chứng minh đẳng thức sau:
$$\frac1{\sin2x}+\frac1{\sin4x}+\frac1{\sin8x}+\cdots+\frac1{\sin2^nx}=\cot x-\cot2^nx,$$
trong đó $n\in\mathbb N$ và $x\notin\pi\mathbb Z/2^k$ với mọi $k\in\mathbb N$.
(CZS) Giải hệ phương trình:
$$\begin{aligned}|a_1-a_2|x_2+|a_1-a_3|x_3+|a_1-a_4|x_4&=1,\\|a_2-a_1|x_1+|a_2-a_3|x_3+|a_2-a_4|x_4&=1,\\|a_3-a_1|x_1+|a_3-a_2|x_2+|a_3-a_4|x_4&=1,\\|a_4-a_1|x_1+|a_4-a_2|x_2+|a_4-a_3|x_3&=1,\end{aligned}$$
trong đó $a_1,a_2,a_3,a_4$ là các số thực đôi một khác nhau.
(POL) Cho $M,K,L$ lần lượt là các điểm trên $(AB),(BC),(CA)$. Chứng minh diện tích của ít nhất một trong ba tam giác $\triangle MAL$, $\triangle KBM$, $\triangle LCK$ không vượt quá một phần tư diện tích tam giác $\triangle ABC$.