Tìm tất cả các hàm $f$ xác định trên các số thực dương và nhận giá trị thực dương, thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) $f(xf(y))=yf(x)$ với mọi số thực dương $x,y$.
(ii) $f(x)\to0$ khi $x\to+\infty$.
Cho $K$ là một trong hai giao điểm của hai đường tròn $W_1$ và $W_2$. Gọi $O_1$ và $O_2$ là tâm của $W_1$ và $W_2$. Hai tiếp tuyến chung của hai đường tròn tiếp xúc với $W_1$ và $W_2$ lần lượt tại $P_1$ và $P_2$ trên tiếp tuyến thứ nhất, tại $Q_1$ và $Q_2$ trên tiếp tuyến thứ hai. Gọi $M_1$ và $M_2$ lần lượt là trung điểm của $P_1Q_1$ và $P_2Q_2$. Chứng minh rằng
$$\angle O_1KO_2=\angle M_1KM_2.$$
Cho $a,b,c$ là các số nguyên dương thỏa mãn $(a,b)=(b,c)=(c,a)=1$. Chứng minh rằng $2abc-ab-bc-ca$ là số nguyên lớn nhất không biểu diễn được dưới dạng
$$xbc+yca+zab$$
với các số nguyên không âm $x,y,z$.
Cho $ABC$ là một tam giác đều. Gọi $E$ là tập tất cả các điểm trên các đoạn $AB,BC,$ và $CA$ (kể cả $A,B,$ và $C$). Có đúng rằng với mọi cách phân hoạch tập $E$ thành hai tập con rời nhau, tồn tại một tam giác vuông có tất cả các đỉnh thuộc cùng một tập con trong phân hoạch hay không?
Chứng minh hoặc bác bỏ khẳng định sau: Trong tập $\{1,2,3,\ldots,10^5\}$, có thể tìm được một tập con gồm $1983$ phần tử không chứa ba số hạng liên tiếp nào của một cấp số cộng.