Chứng minh rằng mệnh đề sau đúng với $n=3$ và với $n=5$, và sai với mọi $n\gt 2$ khác:
Với mọi số thực $a_1,a_2,\ldots,a_n$,
$$(a_1-a_2)(a_1-a_3)\cdots(a_1-a_n)+(a_2-a_1)(a_2-a_3)\cdots(a_2-a_n)+\ldots$$
$$+(a_n-a_1)(a_n-a_2)\cdots(a_n-a_{n-1})\ge0.$$
Cho đa diện lồi $P_1$ có $9$ đỉnh $A_1,\ldots,A_9$. Gọi $P_2,P_3,\ldots,P_9$ lần lượt là ảnh của $P_1$ qua các phép tịnh tiến biến đỉnh $A_1$ thành $A_2,A_3,\ldots,A_9$. Chứng minh rằng trong các đa diện $P_1,\ldots,P_9$, có ít nhất hai đa diện có chung một điểm trong.
Cho tứ diện $ABCD$ có tất cả các mặt là tam giác nhọn. Đặt
$$\sigma=\angle DAB+\angle BCD-\angle ABC-\angle CDA.$$
Xét tất cả các đường gấp khúc kín $XYZTX$ có các đỉnh $X,Y,Z,T$ lần lượt nằm trong phần trong của các đoạn $AB,BC,CD,DA$. Chứng minh rằng:
(a) nếu $\sigma\ne0$, không có đường gấp khúc $XYZT$ nào có độ dài nhỏ nhất;
(b) nếu $\sigma=0$, có vô số đường gấp khúc như vậy có độ dài nhỏ nhất. Độ dài đó bằng $2AC\sin(\alpha/2)$, trong đó
$$\alpha=\angle BAC+\angle CAD+\angle DAB.$$
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $m\ge1$, tồn tại một tập hữu hạn $S_m$ gồm các điểm trong mặt phẳng thỏa mãn điều kiện sau: Nếu $A$ là một điểm bất kỳ thuộc $S_m$ thì có đúng $m$ điểm thuộc $S_m$ cách $A$ một khoảng bằng $1$.
Xét bảng $n\times n$ gồm các số nguyên không âm
$$\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nn}\end{pmatrix},$$
có tính chất sau: Nếu phần tử $a_{ij}$ bằng không thì tổng các phần tử của hàng thứ $i$ và cột thứ $j$ lớn hơn hoặc bằng $n$. Chứng minh rằng tổng tất cả các phần tử lớn hơn hoặc bằng $\ge\frac12n^2$.