Ngân hàng câu hỏi IMO 1986

Tập $S=\{2,5,13\}$ có tính chất: với mọi $a,b\in S$, $a\ne b$, số $ab-1$ là số chính phương. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $d$ không thuộc $S$, tập $S\cup\{d\}$ không có tính chất trên.

Cho $A,B,C$ là các điểm cố định trong mặt phẳng. Một người xuất phát từ một điểm $P_0$ nào đó và đi thẳng đến $A$. Tại $A$, người ấy đổi hướng $60^\circ$ sang trái và đi đến $P_1$ sao cho $P_0A=AP_1$. Sau khi thực hiện hành động tương tự 1986 lần liên tiếp quanh các điểm $A,B,C,A,B,C,\ldots$, người ấy trở về điểm xuất phát. Chứng minh $ABC$ là một tam giác đều, và các đỉnh $A,B,C$ được sắp ngược chiều kim đồng hồ.

Gán cho mỗi đỉnh $P_i$ ($i=1,\ldots,5$) của một ngũ giác một số nguyên $x_i$, với tổng $s=\sum x_i$ dương. Cho phép phép biến đổi sau, miễn là ít nhất một trong các $x_i$ âm: Chọn một $x_i$ âm, thay nó bởi $-x_i$, và cộng giá trị cũ của $x_i$ vào các số nguyên gán cho hai đỉnh kề với $P_i$ (hai số nguyên còn lại giữ nguyên).
Lặp lại phép biến đổi này cho đến khi mọi số nguyên âm biến mất. Hãy quyết định xem quá trình có nhất thiết dừng sau hữu hạn bước không.

Cho $A,B$ là hai đỉnh kề nhau của một đa giác đều $n$ cạnh trong mặt phẳng và $O$ là tâm của nó. Bây giờ cho tam giác $ABO$ trượt quanh đa giác sao cho các điểm $A$ và $B$ chuyển động dọc theo toàn bộ chu vi đa giác. Mô tả hình mà đỉnh $O$ vạch nên.

Tìm, kèm chứng minh, tất cả các hàm số $f$ xác định trên các số thực không âm và nhận giá trị thực không âm sao cho
(i) $f[xf(y)]f(y)=f(x+y)$,
(ii) $f(2)=0$ nhưng $f(x)\ne0$ với $0\le x\lt 2$.

Chứng minh hoặc bác bỏ: Cho một tập hữu hạn các điểm có hệ số nguyên trong mặt phẳng, có thể tô một số điểm màu đỏ và các điểm còn lại màu trắng sao cho với mọi đường thẳng $L$ song song với một trục tọa độ, số điểm đỏ và số điểm trắng trên $L$ chênh nhau không quá 1.