Hàm $f(n)$ được xác định với mọi số nguyên dương $n$ và nhận các giá trị nguyên không âm. Ngoài ra, với mọi $m,n$,
$f(m+n)-f(m)-f(n)=0$ hoặc $1$;
$f(2)=0$, $f(3)>0$, và $f(9999)=3333$.
Hãy xác định $f(1982)$.
Cho tam giác không cân $A_1A_2A_3$ có các cạnh $a_1,a_2,a_3$ ($a_i$ là cạnh đối diện với $A_i$). Với mọi $i=1,2,3$, gọi $M_i$ là trung điểm của cạnh $a_i$, $T_i$ là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với cạnh $a_i$, và ảnh của $T_i$ qua phép đối xứng trục là đường phân giác trong của góc $A_i$ là điểm $S_i$. Chứng minh rằng các đường thẳng $M_1S_1,M_2S_2,M_3S_3$ đồng quy.
Xét các dãy vô hạn $\{x_n\}$ gồm những số thực dương có các tính chất sau:
$x_0=1$ và với mọi $i\ge0$, $x_{i+1}\le x_i$.
(a) Chứng minh rằng với mỗi dãy như vậy, tồn tại $n\ge1$ sao cho $\frac{x_0^2}{x_1}+\frac{x_1^2}{x_2}+\cdots+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}\ge3.999$.
(b) Tìm một dãy như vậy sao cho $\frac{x_0^2}{x_1}+\frac{x_1^2}{x_2}+\cdots+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}\lt 4$ với mọi $n$.
Chứng minh rằng nếu $n$ là số nguyên dương sao cho phương trình $x^3-3xy^2+y^3=n$ có một nghiệm nguyên $(x,y)$ thì nó có ít nhất ba nghiệm như vậy. Chứng minh rằng phương trình không có nghiệm nguyên khi $n=2891$.
Các đường chéo $AC$ và $CE$ của lục giác đều $ABCDEF$ được các điểm trong $M$ và $N$ tương ứng chia sao cho $\frac{AM}{AC}=\frac{CN}{CE}=r$. Xác định $r$ nếu $B,M,N$ thẳng hàng.
Cho $S$ là hình vuông cạnh 100 và $L$ là một đường gấp khúc nằm trong $S$, không tự cắt, gồm các đoạn thẳng $A_0A_1,A_1A_2,\ldots,A_{n-1}A_n$ với $A_0\ne A_n$. Giả sử với mỗi điểm $P$ trên biên của $S$, có một điểm thuộc $L$ cách $P$ không quá $\frac12$. Chứng minh rằng tồn tại hai điểm $X$ và $Y$ thuộc $L$ sao cho khoảng cách giữa $X$ và $Y$ không quá 1, còn độ dài phần đường $L$ nằm giữa $X$ và $Y$ không nhỏ hơn 198.