Trong mặt phẳng có một bàn cờ vô hạn. Đối với bất kỳ cặp số nguyên dương $m$ và $n$ nào, hãy xem xét một tam giác vuông có các đỉnh tại các điểm lưới và hai cạnh góc vuông có độ dài $m$ và $n$, nằm dọc theo các cạnh của hình vuông. Gọi $S_1$ là tổng diện tích phần đen của tam giác và $S_2$ là tổng diện tích phần trắng. Gọi $f(m,n) = | S_1 - S_2 |$.
(a) Tính $f(m,n)$ cho tất cả các số nguyên dương $m$ và $n$ đều là số chẵn hoặc cả hai số lẻ.
(b) Chứng minh rằng $f(m,n) \leq \frac 12 \max \{m,n\}$ với mọi $m$ và $n$.
(c) Chứng minh rằng không có hằng số $C$ sao cho $f(m,n) \lt C$ cho mọi $m$ và $n$.
Đặt $ABC$ là một hình tam giác với $\angle A \lt \min(\angle B, \angle C)$. Các điểm $B$ và $C$ chia đường tròn ngoại tiếp của tam giác thành hai cung. Đặt $U$ là điểm trong của cung nằm giữa $B$ và $C$ không chứa $A$. Các đường trung trực của $AB$ và $AC$ lần lượt cắt đường $AU$ tại $V$ và $W$. Các đường thẳng $BV$ và $CW$ gặp nhau tại $T$.
Ma trận $n \times n$ có các phần tử đến từ tập hợp $S = \{1, 2, \dots , 2n - 1\}$ được gọi là ma trận *bạc* nếu, với mỗi $i = 1, 2, \dots , n$, hàng $i$ và cột $i$ cùng chứa tất cả các phần tử của $S$. Cho thấy rằng:
Với mỗi số nguyên dương $n$, gọi $f(n)$ biểu thị số cách biểu diễn $n$ dưới dạng tổng lũy thừa của 2 với số mũ nguyên không âm. Các cách biểu diễn chỉ khác nhau về thứ tự các số hạng của chúng được coi là giống nhau. Ví dụ: $f(4) = 4$, vì số $4$ có thể được biểu diễn theo bốn cách sau: $4$; $2+2$; $2+1+1$; $1+1+1+1$.
Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n \geq 3$ ta có $2^{\frac{n^2}{4}} \lt f(2^n) \lt 2^{\frac{n^2}2}$.