Xét tứ giác lồi $ABCD$. Điểm $P$ nằm bên trong $ABCD$. Các tỉ số đẳng thức sau đây đúng: $$
\angle PAD:\angle PBA:\angle DPA
= 1:2:3
= \angle CBP:\angle BAP:\angle BPC.
$$ Chứng minh rằng ba đường thẳng sau cắt nhau tại một điểm: các phân giác trong của các góc $\angle ADP$ và $\angle PCB$ và đường trung trực của đoạn $AB$.
Có $4n$ viên sỏi có trọng lượng $1, 2, 3, \dots, 4n$. Mỗi viên sỏi được tô một trong các màu $n$ và có bốn viên sỏi mỗi màu. Chứng minh rằng ta có thể sắp xếp các viên sỏi thành hai chồng sao cho tổng trọng lượng của cả hai chồng bằng nhau và mỗi chồng chứa hai viên sỏi mỗi màu.
Cho số nguyên $n \gt 1$. Có $n^2$ trạm trên sườn núi, với các độ cao đôi một khác nhau. Mỗi công ty cáp treo $A$ và $B$ vận hành $k$ tuyến; mỗi tuyến đưa hành khách từ một trạm đến một trạm cao hơn, không dừng ở giữa. $k$ tuyến của $A$ có $k$ trạm đầu khác nhau và $k$ trạm cuối khác nhau; tuyến có trạm đầu cao hơn cũng có trạm cuối cao hơn. Công ty $B$ tuân thủ các điều kiện tương tự. Hai trạm được gọi là *liên kết bởi một công ty* nếu có thể đi từ trạm thấp đến trạm cao bằng một hoặc nhiều tuyến của công ty đó, không dùng cách di chuyển nào khác giữa các trạm. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $k$ bảo đảm luôn có hai trạm liên kết bởi cả hai công ty.
Cho một bộ gồm $n \gt 1$ lá bài, trên mỗi lá ghi một số nguyên dương. Bộ bài có tính chất: trung bình cộng của các số trên mỗi cặp lá bài cũng là trung bình nhân của các số trên một nhóm gồm một hoặc nhiều lá bài trong bộ. Với những giá trị $n$ nào, tính chất này buộc tất cả các số trên các lá bài bằng nhau?
Chứng minh rằng tồn tại hằng số dương $c$ sao cho khẳng định sau là đúng:
Xét một số nguyên $n\gt1$ và một tập hợp $\mathcal S$ các điểm $n$ trong mặt phẳng sao cho khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ khác nhau trong $\mathcal S$ ít nhất là 1. Suy ra rằng có một đường thẳng $\ell$ ngăn cách $\mathcal S$ sao cho khoảng cách từ bất kỳ điểm nào của $\mathcal S$ đến $\ell$ là ít nhất $cn^{-1/3}$.
Một đường $\ell$ phân cách một tập hợp các điểm $\mathcal S$ nếu một đoạn nào đó nối hai điểm trong $\mathcal S$ cắt $\ell$.
Lưu ý: Các kết quả yếu hơn khi $cn^{-1/3}$ được thay thế bằng $cn^{-\alpha}$ có thể được tính điểm tùy thuộc vào giá trị của hằng số $\alpha\gt1/3$.