Ngân hàng câu hỏi IMO 1962

(POL) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất $n$ có các tính chất sau:
(a) Biểu diễn thập phân của nó tận cùng bằng $6$.
(b) Nếu chuyển chữ số này lên đầu số thì được một số lớn gấp $4$ lần.

(HUN) Tìm tất cả các số thực $x$ sao cho
$$\sqrt{3-x}-\sqrt{x+1}>\frac12.$$

(CZS) Cho hình lập phương $ABCDA'B'C'D'$. Điểm $X$ chuyển động với tốc độ không đổi dọc theo hình vuông $ABCD$ theo chiều từ $A$ đến $B$. Điểm $Y$ chuyển động với cùng tốc độ không đổi dọc theo hình vuông $BCC'B'$ theo chiều từ $B'$ đến $C'$. Ban đầu, $X$ và $Y$ lần lượt xuất phát từ $A$ và $B'$. Tìm quỹ tích tất cả các trung điểm của $XY$.

(ROM) Giải phương trình
$$\cos^2x+\cos^2 2x+\cos^2 3x=1.$$

(BUL) Trên đường tròn $k$ cho ba điểm $A$, $B$, $C$. Dựng điểm thứ tư $D$ trên đường tròn sao cho có thể nội tiếp một đường tròn trong $ABCD$.

(GDR) Cho $ABC$ là tam giác cân có bán kính đường tròn ngoại tiếp $r$ và bán kính đường tròn nội tiếp $\rho$. Chứng minh rằng khoảng cách $d$ giữa tâm ngoại tiếp và tâm nội tiếp được cho bởi
$$d=\sqrt{r(r-2\rho)}.$$

(USS) Chứng minh rằng tứ diện $SABC$ có năm mặt cầu khác nhau tiếp xúc với cả sáu đường thẳng chứa các cạnh của nó khi và chỉ khi nó là tứ diện đều.