Tìm tất cả các hàm số $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sao cho với mọi $x,y \in \mathbb{R}$, $$
f(\left\lfloor x\right\rfloor y) = f(x)\left\lfloor f(y)\right\rfloor.
$$ Ở đây $\lfloor z\rfloor$ biểu thị số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng $z$.
Đặt $I$ là tâm nội tiếp của tam giác $ABC$ và đặt $\Gamma$ là đường tròn ngoại tiếp của nó. Giả sử đường thẳng $AI$ lại cắt $\Gamma$ tại $D$. Đặt $E$ là một điểm trên cung $\widehat{BDC}$ và $F$ là một điểm trên cạnh $BC$ sao cho $$
\angle BAF = \angle CAE \lt \tfrac12 \angle BAC.
$$ Cuối cùng, đặt $G$ là trung điểm của $\overline{IF}$. Chứng minh rằng $\overline{DG}$ và $\overline{EI}$ cắt nhau trên $\Gamma$.
Tìm tất cả các hàm số $g \colon \mathbb{Z}_{\gt 0} \to \mathbb{Z}_{\gt 0}$ sao cho $$
\left( g(m)+n \right)\left( g(n)+m \right)
$$ là số chính phương cho mọi cặp số nguyên dương $m,n$.
Cho điểm $P$ nằm trong tam giác $ABC$ với $CA \neq CB$. Các đường thẳng $AP$, $BP$ và $CP$ cắt lại đường tròn ngoại tiếp $\Gamma$ lần lượt tại $K$, $L$ và $M$. Tiếp tuyến tại $C$ của $\Gamma$ cắt đường thẳng $AB$ tại $S$. Chứng minh rằng nếu $SC = SP$ thì $MK = ML$.
Mỗi hộp trong số sáu hộp $B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$, $B_5$, $B_6$ ban đầu chứa một đồng xu. Hai loại hoạt động sau đây được cho phép:
1. Chọn ô không trống $B_j$, $1\leq j \leq 5$, bỏ một đồng xu khỏi $B_j$ và thêm hai đồng xu vào $B_{j+1}$;
2. Chọn một hộp không trống $B_k$, $1\leq k \leq 4$, xóa một đồng xu khỏi $B_k$ và hoán đổi nội dung (có thể trống) của các hộp $B_{k+1}$ và $B_{k+2}$.
Xác định xem có tồn tại hữu hạn dãy các phép toán thuộc các loại được phép hay không, sao cho năm hộp $B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$, $B_5$ trở nên trống, trong khi hộp $B_6$ chứa chính xác $2010^{2010^{2010}}$ đồng xu. Lưu ý rằng $a^{b^c}=a^{(b^c)}$.
Giả sử $a_1, a_2, a_3, \dots$ là dãy gồm các số thực dương và $s$ là số nguyên dương, sao cho $$
a_n = \max \{ a_k + a_{n-k} \mid 1 \leq k \leq n-1 \} \text{ với mọi } n \gt s.
$$ Chứng minh tồn tại các số nguyên dương $\ell \leq s$ và $N$ sao cho $$
a_n = a_{\ell} + a_{n - \ell} \text{ với mọi } n \ge N.
$$