Ngân hàng câu hỏi IMO 1972

Cho một tập gồm $10$ số nguyên dương, mỗi số có hai chữ số trong biểu diễn thập phân. Chứng minh rằng có hai tập con rời nhau của tập đó có tổng các phần tử bằng nhau.

Chứng minh rằng với mỗi $n\ge4$, mọi tứ giác nội tiếp đều có thể chia thành $n$ tứ giác nội tiếp.

Cho $m$ và $n$ là các số nguyên không âm. Chứng minh rằng $\dfrac{(2m)!(2n)!}{m!n!(m+n)!}$ là một số nguyên $(0!=1)$.

Tìm tất cả các nghiệm là các số thực dương $x_i$ $(i=1,2,3,4,5)$ của hệ bất đẳng thức sau:
$$\begin{aligned}(x_1^2-x_3x_5)(x_2^2-x_3x_5)&\le0&&\text{(i)}\\ (x_2^2-x_4x_1)(x_3^2-x_4x_1)&\le0&&\text{(ii)}\\ (x_3^2-x_5x_2)(x_4^2-x_5x_2)&\le0&&\text{(iii)}\\ (x_4^2-x_1x_3)(x_5^2-x_1x_3)&\le0&&\text{(iv)}\\ (x_5^2-x_2x_4)(x_1^2-x_2x_4)&\le0&&\text{(v)}.\end{aligned}$$

Cho $f$ và $\varphi$ là các hàm thực xác định trên khoảng $(-\infty,\infty)$, thỏa mãn phương trình hàm
$$f(x+y)+f(x-y)=2\varphi(y)f(x),$$
với mọi số thực $x,y$ (hãy cho ví dụ về các hàm như vậy). Chứng minh rằng nếu $f(x)$ không đồng nhất bằng $0$ và $|f(x)|\le1$ với mọi $x$, thì $|\varphi(x)|\le1$ với mọi $x$.

Cho bốn mặt phẳng song song phân biệt. Chứng minh rằng tồn tại một tứ diện đều có một đỉnh nằm trên mỗi mặt phẳng.