Một tứ giác lồi $ABCD$ có các đường chéo vuông góc và các cạnh đối diện $AB$ và $CD$ không song song. Các đường trung trực của các cạnh $AB$ và $CD$ gặp nhau tại một điểm duy nhất $P$ bên trong $ABCD$. Chứng minh rằng tứ giác $ABCD$ nội tiếp khi và chỉ khi tam giác $ABP$ và $CDP$ có diện tích bằng nhau.
Trong một cuộc thi, có $a$ thí sinh và $b$ giám khảo, trong đó $b \ge 3$ là số nguyên lẻ. Mỗi giám khảo đánh giá mỗi thí sinh là “đạt” hoặc “không đạt”. Giả sử $k$ là một con số sao cho đối với hai giám khảo bất kỳ, xếp hạng của họ trùng với nhiều nhất $k$ thí sinh. Chứng minh rằng $$
\frac ka \ge \frac{b-1}{2b}.
$$
Đối với bất kỳ số nguyên dương $n$ nào, hãy đặt $\tau(n)$ biểu thị số ước số dương của nó (bao gồm $1$ và chính nó). Xác định tất cả các số nguyên dương $m$ mà tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho $$
\frac{\tau(n^{2})}{\tau(n)}=m.
$$
Gọi $I$ là tâm nội tiếp của tam giác $ABC$. Cho đường tròn nội tiếp của $ABC$ tiếp xúc các cạnh $BC$, $CA$ và $AB$ tại $K$, $L$ và $M$ tương ứng. Đường thẳng đi qua $B$ song song với $MK$ cắt các đường $LM$ và $LK$ lần lượt tại $R$ và $S$. Chứng minh rằng góc $RIS$ là nhọn.