Ngân hàng câu hỏi IMO 2019

Đặt $\mathbb Z$ là tập hợp các số nguyên. Xác định tất cả các hàm số $f:\mathbb Z\to\mathbb Z$ sao cho, với mọi số nguyên $a,b$,

$$f(2a)+2f(b)=f(f(a+b)).$$

Trong tam giác $ABC$ điểm $A_1$ nằm trên cạnh $BC$ và điểm $B_1$ nằm trên cạnh $AC$. Đặt $P$ và $Q$ lần lượt là các điểm trên các đoạn $AA_1$ và $BB_1$ sao cho $\overline{PQ} \parallel \overline{AB}$. Điểm $P_1$ được chọn trên tia $PB_1$ ngoài $B_1$ sao cho $\angle PP_1C = \angle BAC$. Điểm $Q_1$ được chọn trên tia $QA_1$ ngoài $A_1$ sao cho $\angle CQ_1Q = \angle CBA$. Chứng minh rằng các điểm $P_1$, $Q_1$, $P$, $Q$ nội tiếp.

Một mạng xã hội có $2019$ người dùng; một số cặp là bạn của nhau, với quan hệ bạn bè đối xứng. Nếu $A$, $B$, $C$ là ba người dùng sao cho cặp $AB$ và cặp $AC$ là bạn, nhưng cặp $BC$ không là bạn, quản trị viên có thể thực hiện thao tác: tạo quan hệ bạn bè cho cặp $BC$, đồng thời xóa quan hệ bạn bè của các cặp $AB$ và $AC$.

Ban đầu có $1009$ người dùng, mỗi người có $1010$ bạn, và $1010$ người dùng, mỗi người có $1009$ bạn. Chứng minh rằng quản trị viên có thể thực hiện một dãy thao tác để mỗi người dùng có nhiều nhất $1$ bạn.

Giải trên số nguyên dương phương trình $$
k! = \prod_{i=0}^{n-1} (2^n-2^i) = (2^n-1)(2^n-2)(2^n-4) \dots (2^n-2^{n-1}).
$$

Cho số nguyên dương $n$. Harry xếp $n$ đồng xu thành một hàng trên bàn, mỗi đồng xu có thể ngửa hoặc sấp. Harry thực hiện thao tác sau: nếu có $k$ đồng xu ngửa và $k \gt 0$, lật đồng xu thứ $k$; nếu không, dừng quá trình. Ví dụ, từ $THT$ ta có quá trình $THT \to HHT \to HTT \to TTT$, gồm ba bước.

Chứng minh quá trình luôn dừng, và tính số bước trung bình trên tất cả $2^n$ cấu hình ban đầu.

Cho $ABC$ là một tam giác nhọn với $AB\ne AC$, tâm nội tiếp $I$ và đường tròn nội tiếp $\omega$. Gọi $D$, $E$, $F$ biểu thị các điểm tiếp tuyến của $\omega$ với $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$. Đường thẳng qua $D$ vuông góc với $\overline{EF}$ gặp lại $\omega$ tại $R$ (khác với $D$) và đường thẳng $AR$ gặp lại $\omega$ tại $P$ (khác với $R$). Giả sử các đường tròn ngoại tiếp của $\triangle PCE$ và $\triangle PBF$ gặp lại nhau tại $Q$ (trừ $P$). Chứng minh rằng các đường thẳng $DI$ và $PQ$ cắt nhau trên phân giác $\angle A$ bên ngoài. Đường phân giác $\angle A$ ngoài là đường thẳng đi qua $A$ vuông góc với $AI$.