Cho một đường tròn có hai dây $AB$, $CD$ cắt nhau tại $E$, lấy $M$ là một điểm trên dây $AB$ khác $E$. Vẽ đường tròn đi qua $D$, $E$ và $M$. Tiếp tuyến của đường tròn $DEM$ tại $E$ cắt các đường thẳng $BC$, $AC$ lần lượt tại $F$, $G$. Biết $\frac{AM}{AB}=\lambda$, hãy tìm $\frac{GE}{EF}$.
Trên một đường tròn, cho $2n-1$ điểm phân biệt $(n\ge3)$. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất $N$ có tính chất: mỗi khi $N$ điểm đã cho được tô đen, tồn tại hai điểm đen sao cho phần trong của một trong hai cung tương ứng chứa đúng $n$ điểm trong số $2n-1$ điểm đã cho.
Cho $\mathbb Q^+$ là tập các số hữu tỉ dương. Xây dựng một hàm $f:\mathbb Q^+\to\mathbb Q^+$ sao cho
$$f(xf(y))=\frac{f(x)}y,$$
với mọi $x,y$ thuộc $\mathbb Q^+$.
Hai người chơi $A$ và $B$ chơi một trò chơi trong đó họ luân phiên chọn các số theo quy tắc sau: Ban đầu, cho một số tự nhiên $n_0\gt 1$. Biết $n_{2k}$, người chơi $A$ được chọn bất kỳ $n_{2k+1}\in\mathbb N$ sao cho
$$n_{2k}\le n_{2k+1}\le n_{2k}^2.$$
Sau đó người chơi $B$ chọn một số $n_{2k+2}\in\mathbb N$ sao cho
$$\frac{n_{2k+1}}{n_{2k+2}}=p^r,$$
trong đó $p$ là số nguyên tố và $r\in\mathbb N$.
Quy định rằng người chơi $A$ thắng nếu chọn được số 1990, và người chơi $B$ thắng nếu chọn được số 1. Với những số tự nhiên $n_0$ nào người chơi $A$ có thể bảo đảm thắng, với những $n_0$ nào người chơi $B$ có thể bảo đảm thắng, và với những $n_0$ nào mỗi người chơi $A$ và $B$ đều có thể buộc ván chơi hòa?
Có đa giác 1990 cạnh nào có các tính chất (i) và (ii) sau đây hay không?
(i) Tất cả các góc bằng nhau;
(ii) Độ dài 1990 cạnh là một hoán vị của các số $1^2,2^2,\ldots,1989^2,1990^2$.