Cho một số nguyên dương $r$ và một bảng hình chữ nhật $ABCD$ có kích thước $|AB|=20$, $|BC|=12$. Hình chữ nhật được chia thành lưới $20\times12$ ô vuông đơn vị. Các bước đi sau được phép trên bảng: chỉ được đi từ một ô sang ô khác nếu khoảng cách giữa tâm của hai ô bằng $\sqrt r$. Nhiệm vụ là tìm một dãy bước đi từ ô ứng với đỉnh $A$ đến ô ứng với đỉnh $B$.
(a) Chứng minh không thể thực hiện nhiệm vụ nếu $r$ chia hết cho $2$ hoặc $3$.
(b) Chứng minh có thể thực hiện nhiệm vụ khi $r=73$.
(c) Có lời giải khi $r=97$ hay không?
Cho $P$ là một điểm nằm trong $\triangle ABC$ sao cho
$$\angle APB-\angle C=\angle APC-\angle B.$$
Gọi $D,E$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của $\triangle APB,\triangle APC$. Chứng minh rằng $AP$, $BD$ và $CE$ đồng quy.
Gọi $\mathbb N_0$ là tập các số nguyên không âm. Tìm tất cả các hàm $f$ từ $\mathbb N_0$ vào chính nó sao cho
$$f(m+f(n))=f(f(m))+f(n),\qquad\forall m,n\in\mathbb N_0.$$
Các số nguyên dương $a$ và $b$ thỏa mãn các số $15a+16b$ và $16a-15b$ đều là bình phương của các số nguyên dương. Giá trị nhỏ nhất có thể của số nhỏ hơn trong hai số chính phương này là bao nhiêu?
Cho $ABCDEF$ là lục giác lồi sao cho $AB$ song song với $DE$, $BC$ song song với $EF$, và $CD$ song song với $AF$. Gọi $R_A,R_C,R_E$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác $FAB,BCD,DEF$, và gọi $P$ là chu vi lục giác. Chứng minh rằng
$$R_A+R_C+R_E\ge\frac P2.$$
Cho $p,q,n$ là ba số nguyên dương với $p+q\lt n$. Cho $(x_0,x_1,\ldots,x_n)$ là một bộ $(n+1)$ số nguyên thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) $x_0=x_n=0$.
(ii) Với mỗi $i$ thỏa $1\le i\le n$, hoặc $x_i-x_{i-1}=p$ hoặc $x_i-x_{i-1}=-q$.
Chứng minh rằng tồn tại một cặp $(i,j)$ gồm hai chỉ số khác nhau với $(i,j)\ne(0,n)$ sao cho $x_i=x_j$.