Ngân hàng câu hỏi IMO 1987

Cho $S$ là một tập có $n$ phần tử. Ký hiệu số hoán vị của $S$ có đúng $k$ điểm bất động là $p_n(k)$. Chứng minh rằng
$$\sum_{k=0}^n kp_n(k)=n!.$$

Đường kéo dài của đường phân giác $AL$ ($L\in BC$) trong tam giác nhọn $ABC$ cắt đường tròn ngoại tiếp tại điểm $N$. Từ điểm $L$ đến các cạnh $AB$ và $AC$, kẻ các đường vuông góc tương ứng $LK$ và $LM$. Chứng minh rằng diện tích tam giác $ABC$ bằng diện tích tứ giác $AKNM$.

Giả sử $x_1,x_2,\ldots,x_n$ là các số thực thỏa mãn $x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=1$. Chứng minh rằng với mọi số nguyên $k\gt 1$, tồn tại các số nguyên $e_i$ không đồng thời bằng $0$ và thỏa mãn $|e_i|\lt k$ sao cho
$$|e_1x_1+e_2x_2+\cdots+e_nx_n|\le\frac{(k-1)\sqrt n}{k^n-1}.$$

Có tồn tại một hàm $f:\mathbb N\to\mathbb N$ sao cho $f(f(n))=n+1987$ với mọi số tự nhiên $n$ hay không?

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\ge3$, có thể đặt $n$ điểm trong mặt phẳng Euclid sao cho khoảng cách giữa mỗi cặp điểm là số vô tỉ và mỗi bộ ba điểm xác định một tam giác không suy biến có diện tích hữu tỉ.

Cho $f(x)=x^2+x+p$, $p\in\mathbb N$. Chứng minh rằng nếu các số $f(0),f(1),\ldots,f([\sqrt{p/3}])$ đều là số nguyên tố thì tất cả các số $f(0),f(1),\ldots,f(p-2)$ đều là số nguyên tố.