Ngân hàng câu hỏi IMO 1965

(YUG) Tìm mọi số thực $x\in[0,2\pi]$ sao cho
$$2\cos x\leq\left|\sqrt{1+\sin2x}-\sqrt{1-\sin2x}\right|\leq\sqrt2.$$

(POL) Xét hệ phương trình
$$\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=0,\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=0,\\a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=0,\end{cases}$$
có các hệ số thỏa mãn:
(a) $a_{11},a_{22},a_{33}$ là các số thực dương;
(b) mọi hệ số còn lại đều âm;
(c) trong mỗi phương trình, tổng các hệ số là số dương.
Chứng minh rằng $x_1=x_2=x_3=0$ là nghiệm duy nhất của hệ.

(CZS) Cho tứ diện $ABCD$. Độ dài các cạnh $AB$ và $CD$ lần lượt là $a$ và $b$, khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$ là $d$, góc giữa chúng bằng $\omega$. Mặt phẳng $\pi$ song song với các đường thẳng $AB$ và $CD$ chia tứ diện thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần nếu tỉ số khoảng cách từ mặt phẳng $\pi$ đến $AB$ và đến $CD$ bằng $k$.

(USS) Tìm bốn số thực $x_1,x_2,x_3,x_4$ sao cho tổng của một số bất kỳ trong bốn số và tích của ba số còn lại bằng $2$.

(ROM) Cho tam giác $OAB$ có $\angle AOB=\alpha\lt 90^\circ$. Lấy điểm $M$ bất kỳ thuộc tam giác, khác $O$. Gọi $P$ và $Q$ lần lượt là chân các đường vuông góc từ $M$ xuống $OA$ và $OB$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $OPQ$. Tìm quỹ tích điểm $H$ khi:
(a) $M$ thuộc đoạn $AB$;
(b) $M$ thuộc miền trong tam giác $\triangle OAB$.

(POL) Cho $n\geq3$ điểm trong mặt phẳng. Gọi $d$ là khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm đã cho. Chứng minh rằng số cặp điểm cách nhau $d$ không vượt quá $n$.