Ngân hàng câu hỏi IMO 2026

Có 2026 số nguyên lớn hơn 1 được viết trên bảng đen, không nhất thiết phải khác nhau. Trong một nước đi, Khổng Tử chọn hai số nguyên $m\gt 1$ và $n\gt 1$ từ các vị trí khác nhau trên bảng đen và thay thế hai số nguyên này bằng

$$\gcd(m,n)\quad\text{và}\quad \frac{\operatorname{lcm}(m,n)}{\gcd(m,n)}.$$

Anh ta tiếp tục thực hiện các thao tác trong khi có thể làm như vậy.

(a) Chứng minh rằng, bất kể sự lựa chọn của Khổng Tử, sau hữu hạn nhiều nước đi, có đúng một số nguyên $M$ trên bảng lớn hơn 1.

(b) Chứng minh rằng giá trị của $M$ không phụ thuộc vào sự lựa chọn của Khổng Tử.

Ở đây $\gcd(x,y)$ biểu thị ước số chung lớn nhất và $\operatorname{lcm}(x,y)$ là bội số chung nhỏ nhất của các số nguyên dương $x,y$.

Giả sử $ABC$ là một tam giác và đặt các điểm $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$ và $AC$. Giả sử các điểm $K$ và $L$ được chọn hoàn toàn bên trong các tam giác $BMC$ và $BNC$, sao cho $K$ nằm hoàn toàn bên trong tam giác $ABL$ và $L$ nằm hoàn toàn bên trong tam giác $AKC$. Giả sử rằng

$$\angle KBA=\angle ACL,\quad \angle LBK=\angle LNC,\quad \angle LCK=\angle BMK.$$

Gọi $O$ là tâm ngoại tiếp của tam giác $AKL$. Chứng minh rằng $OM=ON$.

Cho số nguyên dương $n$. Lưu Bang và Hạng Vũ muốn chia nhau một thanh gỗ dài 1. Lưu Bang đánh dấu nhiều nhất $n$ điểm trên thanh, sau đó Hạng Vũ đánh dấu nhiều nhất $n$ điểm. Tất cả các điểm đánh dấu đều phân biệt. Thanh gỗ được cắt tại mọi điểm đã đánh dấu, tạo thành một số đoạn. Hai người lần lượt chọn một đoạn chưa được nhận, Lưu Bang đi trước. Mỗi người muốn tối đa hóa tổng độ dài các đoạn mình nhận. Với mỗi $n$, tìm giá trị lớn nhất $c$ sao cho Lưu Bang có thể bảo đảm tổng độ dài ít nhất $c$, bất kể cách chơi của Hạng Vũ.

Shan-Yu và Mulan đang chơi một trò chơi. Giả sử $\theta$ là một góc có $0^\circ\lt \theta\lt 180^\circ$ được cả hai người chơi biết. Ban đầu, Shan-Yu làm một hình tam giác bằng giấy $T$ với kích thước và các góc tùy ý do mình chọn. Sau đó, họ liên tục thực hiện các bước sau:

• Nếu $T$ có ít nhất một góc đo chính xác $\theta$ thì trò chơi dừng và Mulan thắng.

• Mặt khác, Mulan chọn một điểm $P$ trên chu vi $T$, khác với ba đỉnh của nó. Sau đó, cô ấy thực hiện một đường cắt thẳng từ $P$ đến đỉnh đối diện của $T$, chia nó thành hai hình tam giác.

• Shan-Yu loại bỏ một trong hai hình tam giác. Tam giác còn lại trở thành $T$ mới.

Với giá trị thực nào của $\theta$ Mulan có thể đảm bảo chiến thắng của mình trong hữu hạn nhiều bước, bất kể Shan-Yu chơi như thế nào?

Gọi $\mathbb R_{\gt 0}$ là tập hợp các số thực dương. Xác định tất cả các hàm số $f:\mathbb R_{\gt 0}\to\mathbb R_{\gt 0}$ sao cho

$$\sqrt{\frac{x^2+f(y)^2}{2}}\ge\frac{f(x)+y}{2}\ge\sqrt{xf(y)}$$

cho mọi $x,y\in\mathbb R_{\gt 0}$.

Giả sử $a_1,a_2,a_3,\ldots$ là vô hạn dãy gồm các số nguyên dương lớn hơn 1. Giả sử rằng với tất cả các số nguyên dương $n$, số $a_{n+1}$ là số nguyên dương nhỏ nhất lớn hơn $a_n$ sao cho $\gcd(a_{n+1},a_i)\gt 1$ với mọi $i=1,2,\ldots,n$. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên dương $T$ và $L$ sao cho

$$a_{n+T}=a_n+L$$

với mọi số nguyên dương $n$. Ở đây $\gcd(x,y)$ biểu thị ước số chung lớn nhất của số nguyên dương $x,y$.