Cho tam giác $ABC$ có tâm đường tròn nội tiếp $I$. Điểm $P$ nằm trong tam giác và thỏa mãn
$$\angle PBA+\angle PCA=\angle PBC+\angle PCB.$$
Chứng minh $AP\geq AI$, và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $P=I$.
Cho đa giác đều $2006$ đỉnh $P$. Một đường chéo của $P$ được gọi là tốt nếu hai đầu mút của nó chia biên đa giác thành hai phần, mỗi phần gồm một số lẻ cạnh. Các cạnh của $P$ cũng được gọi là tốt.
Giả sử $P$ được chia thành các tam giác bởi $2003$ đường chéo sao cho không có hai đường nào cắt nhau bên trong $P$. Tìm số lớn nhất các tam giác cân có hai cạnh tốt trong một cách chia như vậy.
Cho đa thức $P(x)$ bậc $n\gt 1$ với hệ số nguyên và số nguyên dương $k$. Xét đa thức $Q(x)=P(P(\ldots P(P(x))\ldots))$, trong đó $P$ xuất hiện $k$ lần. Chứng minh có nhiều nhất $n$ số nguyên $t$ thỏa mãn $Q(t)=t$.
Với mỗi cạnh $b$ của một đa giác lồi $P$, gán diện tích lớn nhất của một tam giác nằm trong $P$ và có $b$ làm một cạnh. Chứng minh tổng các diện tích được gán cho các cạnh không nhỏ hơn hai lần diện tích của $P$.