Cho $O$ là một điểm trên đường thẳng $l$ và $\overrightarrow{OP_1},\overrightarrow{OP_2},\ldots,\overrightarrow{OP_n}$ là các vectơ đơn vị sao cho các điểm $P_1,P_2,\ldots,P_n$ và đường thẳng $l$ cùng nằm trên một mặt phẳng, đồng thời tất cả các điểm $P_i$ nằm trong cùng một nửa mặt phẳng xác định bởi $l$. Chứng minh rằng nếu $n$ lẻ thì
$$\left\|\overrightarrow{OP_1}+\overrightarrow{OP_2}+\cdots+\overrightarrow{OP_n}\right\|\ge1.$$
($\|\overrightarrow{OM}\|$ là độ dài của vectơ $\overrightarrow{OM}$).
Có tồn tại tập hữu hạn $M$ gồm các điểm trong không gian, không cùng nằm trên một mặt phẳng, sao cho với mỗi hai điểm $A,B\in M$ đều có hai điểm khác $C,D\in M$ mà các đường thẳng $AB$ và $CD$ song song nhưng không trùng nhau hay không?
Một người lính phải kiểm tra xem có mìn trong một khu vực có dạng tam giác đều hay không. Bán kính phạm vi máy dò của anh bằng một nửa đường cao của tam giác. Người lính bắt đầu từ một đỉnh của tam giác. Hãy xác định đường đi ngắn nhất mà anh phải đi qua để kiểm tra toàn bộ khu vực.
Cho $G$ là tập các hàm $f:\mathbb R\to\mathbb R$ có dạng $f(x)=ax+b$, trong đó $a$, $b$ là các số thực và $a\ne0$. Giả sử $G$ thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) Nếu $f,g\in G$ thì $g\circ f\in G$, trong đó $(g\circ f)(x)=g[f(x)]$.
(2) Nếu $f\in G$ và $f(x)=ax+b$ thì hàm ngược $f^{-1}$ của $f$ thuộc $G$ ($f^{-1}(x)=(x-b)/a$).
(3) Với mỗi $f\in G$, tồn tại số $x_f\in\mathbb R$ sao cho $f(x_f)=x_f$.
Chứng minh tồn tại số $k\in\mathbb R$ sao cho $f(k)=k$ với mọi $f\in G$.
Cho các số dương $a_1,a_2,\ldots,a_n$ và số thực $q$ cho trước, $0\lt q\lt 1$. Tìm $n$ số thực $b_1,b_2,\ldots,b_n$ thỏa mãn:
(1) $a_k\lt b_k$ với mọi $k=1,2,\ldots,n$;
(2) $q\lt \frac{b_{k+1}}{b_k}\lt \frac1q$ với mọi $k=1,2,\ldots,n-1$;
(3) $b_1+b_2+\cdots+b_n\lt \frac{1+q}{1-q}(a_1+a_2+\cdots+a_n)$.