Ngân hàng câu hỏi IMO 1974

Alice, Betty và Carol cùng tham dự một loạt bài thi. Trong mỗi bài thi có một điểm $A$, một điểm $B$ và một điểm $C$, trong đó $A,B,C$ là các số nguyên dương đôi một khác nhau. Tổng điểm cuối cùng là

$$\begin{array}{ccc}\text{Alice}&\text{Betty}&\text{Carol}\\20&10&9\end{array}$$

Nếu Betty đứng thứ nhất trong bài thi số học thì ai đứng thứ hai trong bài thi chính tả?

Cho tam giác $\triangle ABC$. Chứng minh rằng tồn tại một điểm $D$ trên cạnh $AB$ sao cho $CD$ là trung bình nhân của $AD$ và $BD$ khi và chỉ khi

$$\sqrt{\sin A\sin B}\le\sin\frac C2.$$

Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên $n$ sao cho số

$$\sum_{k=0}^n\binom{2n+1}{2k+1}2^{3k}$$

chia hết cho $5$.

Xét một cách chia bàn cờ $8\times8$ thành $p$ hình chữ nhật có phần trong đôi một không giao nhau sao cho mỗi hình có số ô trắng bằng số ô đen. Giả sử $a_1\lt a_2\lt \cdots\lt a_p$, trong đó $a_i$ là số ô trắng trong hình chữ nhật thứ $i$. Tìm giá trị lớn nhất của $p$ để tồn tại cách chia như vậy, và với $p$ đó, xác định tất cả các dãy tương ứng có thể có $a_1,a_2,\ldots,a_p$.

Với $a,b,c,d$ là các số thực dương tùy ý, tìm tất cả các giá trị có thể có của
$$S=\frac a{a+b+d}+\frac b{a+b+c}+\frac c{b+c+d}+\frac d{a+c+d}.$$

Cho $P(x)$ là một đa thức có hệ số nguyên. Nếu $n(P)$ là số các số nguyên $k$ (phân biệt) sao cho $P^2(k)=1$, hãy chứng minh rằng $n(P)-\deg(P)\le2$, trong đó $\deg(P)$ là bậc của đa thức $P$.