Tìm tất cả số thực $\alpha$ sao cho với mọi số nguyên dương $n$, số nguyên
$$\lfloor\alpha\rfloor+\lfloor2\alpha\rfloor+\cdots+\lfloor n\alpha\rfloor$$
là bội của $n$. Ký hiệu $\lfloor z\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $z$; ví dụ $\lfloor-\pi\rfloor=-4$ và $\lfloor2\rfloor=\lfloor2.9\rfloor=2$.
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a,b)$ sao cho tồn tại các số nguyên dương $g,N$ với
$$\gcd(a^n+b,b^n+a)=g$$
đúng với mọi số nguyên $n\geq N$. Ký hiệu $\gcd(x,y)$ là ước chung lớn nhất của hai số nguyên $x,y$.
Cho dãy vô hạn số nguyên dương $a_1,a_2,a_3,\ldots$ và số nguyên dương $N$. Giả sử với mọi $n\gt N$, $a_n$ bằng số lần $a_{n-1}$ xuất hiện trong danh sách $a_1,a_2,\ldots,a_{n-1}$.
Chứng minh ít nhất một trong hai dãy $a_1,a_3,a_5,\ldots$ và $a_2,a_4,a_6,\ldots$ là tuần hoàn kể từ một chỉ số nào đó. Một dãy $b_1,b_2,\ldots$ có tính chất này nếu tồn tại các số nguyên dương $p,M$ sao cho $b_{m+p}=b_m$ với mọi $m\geq M$.
Cho tam giác $ABC$ với $AB\lt AC\lt BC$. Gọi $I,\omega$ lần lượt là tâm và đường tròn nội tiếp. Gọi $X$ là điểm trên đường thẳng $BC$, khác $C$, sao cho đường thẳng qua $X$ song song với $AC$ tiếp xúc với $\omega$. Tương tự, gọi $Y$ là điểm trên đường thẳng $BC$, khác $B$, sao cho đường thẳng qua $Y$ song song với $AB$ tiếp xúc với $\omega$. Đường thẳng $AI$ cắt lại đường tròn ngoại tiếp $ABC$ tại $P\ne A$. Gọi $K,L$ lần lượt là trung điểm của $AC,AB$.
Chứng minh $\angle KIL+\angle YPX=180^\circ$.
Ốc sên Turbo chơi trên bảng có $2024$ hàng và $2023$ cột. Có quái vật ẩn trong $2022$ ô. Ban đầu Turbo không biết vị trí của chúng, nhưng biết mỗi hàng trừ hàng đầu và cuối có đúng một quái vật, và mỗi cột có nhiều nhất một quái vật.
Turbo thực hiện các lần thử đi từ hàng đầu đến hàng cuối. Mỗi lần, nó bắt đầu ở một ô tùy ý của hàng đầu, rồi đi từng bước sang ô kề chung cạnh; nó được phép quay lại ô đã đi qua. Nếu gặp ô có quái vật, lần thử kết thúc và Turbo trở về hàng đầu để bắt đầu lần mới. Các quái vật không di chuyển, và Turbo nhớ những ô đã đi qua có quái vật hay không. Nếu tới bất kỳ ô nào ở hàng cuối, lần thử kết thúc và trò chơi kết thúc.
Tìm số nguyên nhỏ nhất $n$ sao cho Turbo có chiến lược bảo đảm tới hàng cuối không muộn hơn lần thử thứ $n$, bất kể vị trí các quái vật.
Gọi $\mathbb Q$ là tập số hữu tỉ. Hàm $f:\mathbb Q\to\mathbb Q$ được gọi là aquaesulian nếu với mọi $x,y\in\mathbb Q$, ít nhất một trong hai đẳng thức sau đúng:
$$f(x+f(y))=f(x)+y\quad\lor\quad f(f(x)+y)=x+f(y).$$
Chứng minh tồn tại số nguyên $c$ sao cho với mọi hàm aquaesulian $f$, có không quá $c$ số hữu tỉ khác nhau dạng $f(r)+f(-r)$, với $r\in\mathbb Q$; tìm giá trị nhỏ nhất của $c$.