Ngân hàng câu hỏi IMO 2025

Một đường thẳng trong mặt phẳng được gọi là *sunny* nếu không song song với trục $x$, trục $y$, hoặc đường thẳng $x+y=0$.

Cho số nguyên $n \ge 3$. Tìm mọi số nguyên không âm $k$ sao cho tồn tại $n$ đường thẳng phân biệt trong mặt phẳng thỏa mãn:

• Với mọi số nguyên dương $a$, $b$ có $a+b\le n+1$, điểm $(a,b)$ nằm trên ít nhất một đường thẳng; và

• Có đúng $k$ trong số $n$ đường thẳng là sunny.

Đặt $\Omega$ và $\Gamma$ lần lượt là các đường tròn có tâm $M$ và $N$ sao cho bán kính $\Omega$ nhỏ hơn bán kính $\Gamma$. Giả sử $\Omega$ và $\Gamma$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$. Đường $MN$ cắt $\Omega$ tại $C$ và $\Gamma$ tại $D$, sao cho $C$, $M$, $N$, $D$ nằm trên $MN$ theo thứ tự đó. Đặt $P$ là tâm ngoại tiếp của tam giác $ACD$. Đường thẳng $AP$ gặp lại $\Omega$ tại $E \neq A$ và gặp lại $\Gamma$ tại $F \neq A$. Đặt $H$ là trực tâm của tam giác $PMN$.

Chứng minh rằng đường thẳng qua $H$ song song với $AP$ tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp của tam giác $BEF$. trực tâm của một tam giác là giao điểm của các đường cao của nó.

Hàm số $f \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ được gọi là *bonza* nếu

$$
f(a)\quad\text{là ước của}\quad b^a-f(b)^{f(a)}
$$

với mọi số nguyên dương $a$ và $b$.

Tìm hằng số thực nhỏ nhất $c$ sao cho $f(n) \leq cn$ với mọi hàm bonza $f$ và mọi số nguyên dương $n$.

Một vô hạn dãy $a_1$, $a_2$, … bao gồm các số nguyên dương, mỗi số có ít nhất ba ước thực sự. Giả sử rằng với mỗi $n\geq 1$, $a_{n+1}$ là tổng của ba ước thực sự lớn nhất của $a_n$. Xác định tất cả các giá trị có thể có của $a_1$. Ước thực sự của một số nguyên dương là một ước số dương khác với chính số nguyên đó.

Alice và Bazza đang chơi *inekoalaty*, một trò chơi hai người chơi có quy tắc phụ thuộc vào một số thực dương $\lambda$ mà cả hai người chơi đều biết. Vào lượt thứ $n$ của trò chơi (bắt đầu với $n=1$), điều sau đây sẽ xảy ra:

• Nếu $n$ là số lẻ, Alice chọn số thực không âm $x_n$ sao cho $$
x_1 + x_2 + \cdots + x_n \le \lambda n.
$$

• Nếu $n$ là số chẵn, Bazza chọn số thực không âm $x_n$ sao cho $$
x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 \le n.
$$

Nếu người chơi không thể chọn $x_n$ phù hợp, trò chơi kết thúc và người chơi kia thắng. Nếu trò chơi tiếp tục mãi thì không có người chơi nào thắng. Tất cả các số đã chọn đều được cả hai người chơi biết.

Xác định tất cả các giá trị của $\lambda$ mà Alice có chiến lược thắng và tất cả những giá trị mà Bazza có chiến lược thắng.

Xét bảng $2025 \times 2025$ ô vuông đơn vị. Matilda muốn đặt lên bảng một số viên gạch hình chữ nhật, có thể khác kích thước, sao cho mỗi cạnh của mỗi viên gạch nằm trên một đường lưới và mỗi ô vuông đơn vị được phủ bởi nhiều nhất một viên gạch.

Tìm số viên gạch ít nhất cần đặt sao cho mỗi hàng và mỗi cột có đúng một ô vuông đơn vị không được viên gạch nào phủ.