Ngân hàng câu hỏi IMO 1968

Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một tam giác có độ dài các cạnh là các số tự nhiên liên tiếp và một góc có số đo gấp đôi số đo của một góc khác.

Tìm tất cả các số nguyên dương $x$ sao cho $p(x)=x^2-10x-22$, trong đó $p(x)$ là tích các chữ số của $x$.

Cho $a,b,c$ là các số thực. Chứng minh rằng hệ phương trình
$$\begin{cases}ax_1^2+bx_1+c=x_2,\\ax_2^2+bx_2+c=x_3,\\\cdots\\ax_{n-1}^2+bx_{n-1}+c=x_n,\\ax_n^2+bx_n+c=x_1.\end{cases}$$
(a) không có nghiệm thực nếu $(b-1)^2-4ac\lt 0$;

(b) có nghiệm thực duy nhất nếu $(b-1)^2-4ac=0$;

(c) có nhiều hơn một nghiệm thực nếu $(b-1)^2-4ac>0$.

Chứng minh rằng trong một tứ diện bất kỳ, tồn tại một đỉnh sao cho độ dài các cạnh đi qua đỉnh đó là độ dài các cạnh của một tam giác.

Cho số thực $a>0$ và hàm thực $f(x)$ xác định trên toàn bộ $\mathbb R$, thỏa mãn với mọi $x\in\mathbb R$,
$$f(x+a)=\frac12+\sqrt{f(x)-f(x)^2}.$$
(a) Chứng minh hàm $f$ tuần hoàn; tức là tồn tại $b>0$ sao cho với mọi $x$, $f(x+b)=f(x)$.

(b) Cho một ví dụ về hàm không hằng như vậy khi $a=1$.

Ký hiệu $[x]$ là phần nguyên của $x$, tức số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$. Nếu $n$ là số nguyên dương, hãy biểu diễn tổng sau thành một hàm đơn giản của $n$:
$$\left\lfloor\frac{n+1}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{n+2}{4}\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor\frac{n+2^i}{2^{i+1}}\right\rfloor+\cdots.$$