Cho $A$, $B$, $C$ và $D$ là các điểm phân biệt trên một đường thẳng theo thứ tự đó. Hai đường tròn có đường kính $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $X$ và $Y$. $O$ là điểm tùy ý trên đường thẳng $XY$ nhưng không nằm trên $AD$. $CO$ cắt lại đường tròn đường kính $AC$ tại $M$, còn $BO$ cắt lại đường tròn kia tại $N$. Chứng minh các đường thẳng $AM$, $DN$ và $XY$ đồng quy.
Xác định tất cả các số nguyên $n\gt 3$ sao cho có $n$ điểm $A_1,A_2,\ldots,A_n$ trong mặt phẳng đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau:
(a) Không có ba điểm nào cùng nằm trên một đường thẳng.
(b) Tồn tại các số thực $p_1,p_2,\ldots,p_n$ sao cho diện tích $\triangle A_iA_jA_k$ bằng $p_i+p_j+p_k$, với $1\le i\lt j\lt k\le n$.
Các số thực dương $x_0,x_1,\ldots,x_{1995}$ thỏa mãn $x_0=x_{1995}$ và
$$x_{i-1}+\frac2{x_{i-1}}=2x_i+\frac1{x_i}$$
với $i=1,2,\ldots,1995$. Tìm giá trị lớn nhất có thể của $x_0$.
Cho lục giác lồi $ABCDEF$ với $AB=BC=CD$, $DE=EF=FA$, và $\angle BCD=\angle EFA=\pi/3$ (tức là $60^\circ$). Cho $G$, $H$ là hai điểm trong lục giác sao cho các góc $AGB$, $DHE$ đều bằng $2\pi/3$ (tức là $120^\circ$). Chứng minh rằng $AG+GB+GH+DH+HE\ge CF$.