Ngân hàng Oslo phát hành hai loại tiền xu: nhôm, ký hiệu $A$, và đồng, ký hiệu $B$. Marianne có $n$ đồng xu nhôm và $n$ đồng xu đồng, xếp thành một hàng theo thứ tự ban đầu tùy ý. Một *chuỗi* là một dãy con gồm các đồng xu liên tiếp cùng loại. Với số nguyên dương cố định $k \leq 2n$, Gilberty lặp lại thao tác sau: tìm chuỗi dài nhất chứa đồng xu thứ $k$ từ trái sang, rồi chuyển cả chuỗi đó đến đầu trái của hàng. Chẳng hạn, nếu $n=4$ và $k=4$, từ thứ tự $AABBBABA$ ta có quá trình $AABBBABA \to BBBAAABA \to AAABBBBA \to BBBBAAAA \to \dotsb$.
Tìm mọi cặp $(n,k)$ với $1 \leq k \leq 2n$ sao cho với mọi thứ tự ban đầu, đến một thời điểm trong quá trình, $n$ đồng xu ngoài cùng bên trái đều cùng loại.
Tìm tất cả các hàm số $f \colon \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ sao cho với mỗi $x \in \mathbb{R}^+$, có chính xác một $y \in \mathbb{R}^+$ thỏa mãn $$
xf(y)+yf(x) \leq 2.
$$ Ở đây $\mathbb R^+$ biểu thị tập hợp các số thực dương.
Đặt $k$ là số nguyên dương và đặt $S$ là tập hợp hữu hạn các số nguyên tố lẻ. Chứng minh rằng có nhiều nhất một cách (coi các cách chỉ khác nhau bởi phép quay hoặc đối xứng là giống nhau) để đặt các phần tử của $S$ xung quanh đường tròn sao cho tích của hai lân cận bất kỳ có dạng $x^2+x+k$ với một số nguyên dương $x$.
Đặt $ABCDE$ là một hình ngũ giác lồi sao cho $BC=DE$. Giả sử rằng có một điểm $T$ bên trong $ABCDE$ với $TB=TD$, $TC=TE$ và $\angle ABT = \angle TEA$. Giả sử đường thẳng $AB$ cắt đường thẳng $CD$ và $CT$ lần lượt tại các điểm $P$ và $Q$. Giả sử rằng các điểm $P$, $B$, $A$, $Q$ xuất hiện trên đường thẳng của chúng theo thứ tự đó. Giả sử đường thẳng $AE$ cắt $CD$ và $DT$ lần lượt tại các điểm $R$ và $S$. Giả sử rằng các điểm $R$, $E$, $A$, $S$ xuất hiện trên đường thẳng của chúng theo thứ tự đó. Chứng minh rằng các điểm $P$, $S$, $Q$, $R$ nằm trên một đường tròn.
Đặt $n$ là số nguyên dương. *Hình vuông Bắc Âu* là một bảng $n \times n$ chứa tất cả các số nguyên từ $1$ đến $n^2$ sao cho mỗi ô chứa chính xác một số. *Đường dẫn lên dốc* là dãy của một hoặc nhiều ô sao cho:
1. ô đầu tiên trong dãy là *thung lũng*, nghĩa là số được viết nhỏ hơn tất cả các ô kề chung cạnh của nó,
2. mỗi ô tiếp theo trong dãy kề chung cạnh với ô trước đó và
3. các số được ghi trong các ô trong dãy theo thứ tự tăng dần.
Tìm, dưới dạng hàm số của $n$, tổng số đường lên dốc nhỏ nhất có thể có trong một hình vuông Bắc Âu. Hai ô khác nhau liền kề nhau một cách chính xác khi chúng có chung một cạnh. Một thung lũng chứa một số nhỏ hơn các số trong tất cả các ô liền kề của nó.