Đặt $\Gamma$ là đường tròn ngoại tiếp của tam giác nhọn $ABC$. Các điểm $D$ và $E$ lần lượt nằm trên các đoạn $AB$ và $AC$ sao cho $AD = AE$. Các đường trung trực của $\overline{BD}$ và $\overline{CE}$ cắt các cung nhỏ $AB$ và $AC$ của $\Gamma$ lần lượt tại các điểm $F$ và $G$. Chứng minh rằng các đường thẳng $DE$ và $FG$ song song.
Tìm tất cả các số nguyên $n \geq 3$ tồn tại số thực $a_1, a_2, \dots, a_n$ thỏa mãn $$
a_i a_{i+1} +1 = a_{i+2}
$$ cho $i=1,2, \dots, n$, trong đó các chỉ số được lấy modulo $n$.
Một *tam giác phản Pascal* là một bảng số xếp theo hình tam giác đều, trong đó mỗi số không ở hàng dưới cùng bằng giá trị tuyệt đối của hiệu hai số ngay bên dưới nó. Chẳng hạn, bảng sau là tam giác phản Pascal có bốn hàng chứa mọi số nguyên từ $1$ đến $10$.
Có tồn tại tam giác phản Pascal có $2018$ hàng chứa mọi số nguyên từ $1$ đến $1+2+\dots +2018$ không?
Một *vị trí* là điểm $(x,y)$ trong mặt phẳng với $x,y \in \{1, \dots, 20\}$. Ban đầu cả $400$ vị trí đều trống. Amy và Ben lần lượt đặt một viên đá vào một vị trí trống, Amy đi trước. Amy phải tuân thủ thêm điều kiện: không có hai viên đá của mình cách nhau đúng $\sqrt5$. Trò chơi dừng khi một trong hai người không thể đi tiếp. Tìm $K$ lớn nhất sao cho Amy có thể bảo đảm đặt được ít nhất $K$ viên đá. Amy đặt đá đỏ, Ben đặt đá xanh; Ben không bị hạn chế về khoảng cách giữa các vị trí đặt đá. Amy phải bảo đảm số lượng này với mọi cách chơi của Ben.
Giả sử $a_1$, $a_2$, … là vô hạn dãy số nguyên dương và $N\gt1$ là số nguyên. Giả sử rằng với tất cả các số nguyên $n \ge N$, biểu thức $$
\frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \dots
+ \frac{a_{n-1}}{a_n} + \frac{a_n}{a_1}
$$ là một số nguyên. Chứng minh rằng $(a_n)$ là hằng kể từ một chỉ số nào đó.
