Ngân hàng câu hỏi IMO 1979

Biết rằng $$1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots-\frac1{1318}+\frac1{1319}=\frac pq,$$ trong đó $p$ và $q$ là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, chứng minh rằng $p$ chia hết cho $1979$.

Cho lăng trụ ngũ giác $A_1A_2\ldots A_5B_1B_2\ldots B_5$. Các cạnh, các đường chéo của mặt bên và các đường chéo bên trong lăng trụ đều được tô đỏ hoặc xanh sao cho không có tam giác nào có các đỉnh là đỉnh của lăng trụ mà cả ba cạnh cùng màu. Chứng minh rằng mọi cạnh của hai đáy đều cùng màu.

Trong mặt phẳng có hai đường tròn. Gọi $A$ là một giao điểm của chúng. Hai điểm đồng thời bắt đầu chuyển động với tốc độ không đổi từ $A$, mỗi điểm đi trên đường tròn của mình. Hai điểm trở lại $A$ cùng lúc. Chứng minh rằng tồn tại điểm $P$ trong mặt phẳng sao cho ở mọi thời điểm, khoảng cách từ $P$ đến hai điểm chuyển động bằng nhau.

Cho điểm $P$ trong mặt phẳng $\pi$ và điểm $Q$ không thuộc $\pi$, hãy xác định mọi điểm $R$ trong $\pi$ sao cho $\frac{QP+PR}{QR}$ lớn nhất.

Các số thực không âm $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,a$ thỏa mãn
$$\sum_{i=1}^5ix_i=a,\qquad\sum_{i=1}^5i^3x_i=a^2,\qquad\sum_{i=1}^5i^5x_i=a^3.$$
Các giá trị có thể của $a$ là gì?

Cho $S$ và $F$ là hai đỉnh đối diện của một bát giác đều. Một quân bắt đầu tại $S$ và mỗi giây chuyển đến một trong hai đỉnh kề của bát giác. Hướng chuyển được quyết định bằng cách tung đồng xu. Quá trình dừng khi quân đến $F$. Gọi $a_n$ là số đường đi khác nhau kéo dài $n$ giây mà quân có thể đi đến $F$ từ $S$. Chứng minh rằng với $n=1,2,3,\ldots$,
$$a_{2n-1}=0,\qquad a_{2n}=\frac1{\sqrt2}(x^{n-1}-y^{n-1}),\qquad x=2+\sqrt2,\quad y=2-\sqrt2.$$