Ngân hàng câu hỏi IMO 1978

Cho các số tự nhiên $n\gt m\ge1$ sao cho ba chữ số tận cùng trong biểu diễn thập phân của $1978^m,1978^n$ trùng nhau. Tìm cặp có thứ tự $(m,n)$ với $m,n$ thỏa mãn điều kiện ấy sao cho $m+n$ nhỏ nhất.

Cho điểm $P$ bất kỳ bên trong một mặt cầu bán kính $R$. Vẽ ba đoạn thẳng $PA,PB,PC$ đôi một vuông góc, có chung đầu mút $P$ và các đầu mút còn lại nằm trên mặt cầu. Xét hình hộp chữ nhật nhận $PA,PB,PC$ làm ba cạnh chung một đỉnh. Hãy tìm quỹ tích điểm $Q$ đối diện với $P$ qua đường chéo của hình hộp khi $P$ và mặt cầu cố định.

Cho dãy số nguyên dương tăng nghiêm ngặt $\{f(n)\}$: $0\lt f(1)\lt f(2)\lt f(3)\lt \cdots$. Trong các số nguyên dương không thuộc dãy, số nhỏ thứ $n$ là $f(f(n))+1$. Tính $f(240)$.

Trong tam giác $ABC$, ta có $AB=AC$. Một đường tròn tiếp xúc trong với đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và tiếp xúc với các cạnh $AB,AC$ lần lượt tại $P,Q$. Chứng minh rằng trung điểm của $PQ$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

Cho đơn ánh $\varphi:\{1,2,3,\ldots\}\to\{1,2,3,\ldots\}$. Chứng minh rằng với mọi $n$,
$$\sum_{k=1}^n\frac{\varphi(k)}{k^2}\ge\sum_{k=1}^n\frac1k.$$

Một hội quốc tế có các thành viên ở $6$ nước khác nhau. Danh sách thành viên gồm $1978$ tên, được đánh số $1,2,\ldots,1978$. Chứng minh rằng có ít nhất một thành viên mang số bằng tổng các số của hai người cùng nước với mình, không nhất thiết là hai người khác nhau.