Đặt $n \ge 100$ là một số nguyên. Ivan viết các số $n, n+1, \dots, 2n$ lên các thẻ khác nhau. Sau đó, anh ta xáo trộn các thẻ $n+1$ này và chia chúng thành hai chồng. Chứng minh rằng có ít nhất một trong các chồng bài chứa hai quân bài sao cho tổng các số của chúng là một số chính phương.
Chứng minh rằng bất đẳng thức $$
\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sqrt{|x_i-x_j|}
\le \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sqrt{|x_i+x_j|}
$$ đúng với mọi số thực $x_1$, $x_2$, …, $x_n$.
Cho $D$ là điểm trong của tam giác nhọn $ABC$ với $AB \gt AC$ sao cho $\angle DAB = \angle CAD$. Điểm $E$ trên đoạn $AC$ thỏa mãn $\angle ADE =\angle BCD$, điểm $F$ trên đoạn $AB$ thỏa mãn $\angle FDA =\angle DBC$ và điểm $X$ trên đường $AC$ thỏa mãn $CX = BX$. Đặt $O_1$ và $O_2$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp của các tam giác $ADC$ và $EXD$. Chứng minh rằng các đường thẳng $BC$, $EF$ và $O_1O_2$ đồng quy.
Giả sử $\Gamma$ là một đường tròn có tâm $I$ và $ABCD$ là một tứ giác lồi sao cho mỗi đoạn $AB$, $BC$, $CD$ và $DA$ đều tiếp xúc với $\Gamma$. Gọi $\Omega$ là đường tròn ngoại tiếp của tam giác $AIC$. Phần kéo dài của $BA$ ngoài $A$ đáp ứng $\Omega$ tại $X$ và phần kéo dài của $BC$ ngoài $C$ đáp ứng $\Omega$ tại $Z$. Các phần kéo dài của $AD$ và $CD$ ngoài $D$ đáp ứng $\Omega$ tại $Y$ và $T$ tương ứng. Chứng minh rằng $$
AD + DT + TX + XA = CD + DY + YZ + ZC.
$$
Hai chú sóc Bushy và Jumpy thu thập được $2021$ quả óc chó cho mùa đông. Jumpy đánh số các quả từ $1$ đến $2021$, rồi đào $2021$ lỗ nhỏ xếp thành vòng tròn quanh cây yêu thích. Sáng hôm sau, Jumpy thấy Bushy đã đặt mỗi lỗ một quả nhưng không quan tâm đến số thứ tự. Jumpy quyết định sắp xếp lại bằng một dãy gồm 2021 thao tác. Ở thao tác thứ $k$, Jumpy đổi chỗ hai quả nằm kề quả mang số $k$.
Chứng minh rằng tồn tại $k$ sao cho ở thao tác thứ $k$, Jumpy đổi chỗ hai quả mang số $a$ và $b$ với $a\lt k\lt b$.
Giả sử $m \ge 2$ là một số nguyên, $A$ là tập hữu hạn các số nguyên (không nhất thiết phải dương) và $B_1$, $B_2$, …, $B_m$ các tập con của $A$. Giả sử rằng, với mọi $k=1,2,\dots,m$, tổng các phần tử của $B_k$ là $m^k$. Chứng minh rằng $A$ chứa ít nhất $\frac{m}{2}$ phần tử.