Ngân hàng câu hỏi IMO 2001

Giả sử $ABC$ là một tam giác có góc nhọn với $O$ là tâm ngoại tiếp. Đặt $P$ trên đường thẳng $BC$ là chân đường cao tính từ $A$. Giả sử rằng $\angle BCA \ge \angle ABC + 30^\circ$. Chứng minh rằng $\angle CAB + \angle COP \lt 90^\circ$.

Cho $a$, $b$, $c$ là số thực dương. Chứng minh rằng $$
\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}} + \frac{b}{\sqrt{b^2+8ca}} + \frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}} \ge 1.
$$

Hai mươi mốt cô gái và 21 chàng trai đã tham gia một cuộc thi toán học. Hóa ra mỗi thí sinh giải được tối đa sáu bài toán, và cứ mỗi cặp nam và nữ, có ít nhất một bài toán được cả nam và nữ giải được. Chứng minh rằng có một bài toán được ít nhất ba bạn nữ và ít nhất ba bạn nam giải được.

Cho $n \gt 1$ là số nguyên lẻ và cho $c_1$, $c_2$, …, $c_n$ là số nguyên. Đối với mỗi hoán vị $a = (a_1, a_2, \dots, a_n)$ của $\{1,2,\dots,n\}$, hãy xác định $S(a) = \sum_{i=1}^n c_i a_i$. Chứng minh rằng tồn tại hai hoán vị $a \neq b$ của $\{1,2,\dots,n\}$ sao cho $n!$ là ước của $S(a)-S(b)$.

Cho $ABC$ là một hình tam giác. Cho $\overline{AP}$ là phân giác của $\angle BAC$ và để $\overline{BQ}$ là phân giác của $\angle ABC$, với $P$ trên $\overline{BC}$ và $Q$ trên $\overline{AC}$. Nếu $AB + BP = AQ + QB$ và $\angle BAC = 60^\circ$ thì các góc của tam giác là bao nhiêu?

Cho $a \gt b \gt c \gt d \gt 0$ là các số nguyên thỏa mãn $$
ac + bd = (b+d+a-c)(b+d-a+c).
$$ Chứng minh rằng $ab + cd$ không phải là số nguyên tố.