Tam giác $BCF$ có một góc vuông tại $B$. Đặt $A$ là điểm trên đường thẳng $CF$ sao cho $FA=FB$ và $F$ nằm giữa $A$ và $C$. Điểm $D$ được chọn sao cho $DA=DC$ và $AC$ là phân giác của $\angle DAB$. Điểm $E$ được chọn sao cho $EA=ED$ và $AD$ là phân giác của $\angle EAC$. Đặt $M$ là trung điểm của $CF$. Đặt $X$ là điểm sao cho $AMXE$ là hình bình hành, trong đó $AM\parallel EX$ và $AE\parallel MX$. Chứng minh rằng các đường thẳng $BD,FX,ME$ đồng quy.
Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ mà mỗi ô của bảng $n \times n$ có thể được điền bằng một trong các chữ cái $I$, $M$ và $O$ sao cho:
• Trong mỗi hàng và cột, một phần ba số mục là $I$, một phần ba là $M$ và một phần ba là $O$; và
• trong bất kỳ đường chéo nào, nếu số mục trên đường chéo là bội số của ba thì một phần ba số mục là $I$, một phần ba là $M$ và một phần ba là $O$.
Lưu ý: Hàng và cột được gắn nhãn $1,\ldots,n$ theo thứ tự tự nhiên. Mỗi ô tương ứng với $(i,j)$ với $1\le i,j\le n$. Đối với $n\gt1$, có các đường chéo $4n-2$ gồm hai loại: ô có hằng số $i+j$ và ô có hằng số $i-j$.
Cho $P=A_1A_2\dots A_k$ là một đa giác lồi trong mặt phẳng. Các đỉnh $A_1$, $A_2$, …, $A_k$ có tọa độ nguyên và nằm trên một đường tròn. Gọi $S$ là diện tích của $P$. Một số nguyên dương lẻ $n$ được cho sao cho bình phương độ dài các cạnh của $P$ là các số nguyên chia hết cho $n$. Chứng minh rằng $2S$ là số nguyên chia hết cho $n$.
Một tập hợp các số nguyên dương được gọi là *thơm* nếu nó chứa ít nhất hai phần tử và mỗi phần tử của nó có một ước nguyên tố chung với ít nhất một trong các phần tử khác. Gọi $P(n)=n^2+n+1$. Giá trị số nguyên dương nhỏ nhất có thể có của $b$ là bao nhiêu để tồn tại một số nguyên không âm $a$ mà tập hợp $$
\{P(a+1),P(a+2),\dots,P(a+b)\}
$$ là thơm?
Phương trình $$
(x-1)(x-2)\dots(x-2016)=(x-1)(x-2)\dots (x-2016)
$$ được viết trên bảng, với các thừa số tuyến tính $2016$ ở mỗi bên. Giá trị nhỏ nhất có thể có của $k$ mà có thể xóa chính xác $k$ của các thừa số tuyến tính $4032$ này sao cho ít nhất một thừa số còn lại ở mỗi vế và phương trình thu được không có nghiệm thực?
Có $n\ge 2$ đoạn thẳng trong mặt phẳng sao cho cứ hai đoạn thẳng cắt nhau và không có ba đoạn nào gặp nhau tại một điểm. Geoff phải chọn một điểm cuối của mỗi đoạn và đặt một con ếch trên đó đối diện với điểm cuối kia. Sau đó anh ấy sẽ vỗ tay $n-1$ lần. Mỗi lần anh vỗ tay, mỗi con ếch sẽ lập tức nhảy về phía giao điểm tiếp theo trên đoạn đường của nó. Ếch không bao giờ thay đổi hướng nhảy của chúng. Geoff mong muốn đặt những con ếch sao cho không có hai con ếch nào chiếm cùng một điểm giao nhau trong cùng một thời điểm.
(a) Chứng minh rằng Geoff luôn có thể thực hiện được mong muốn của mình nếu $n$ là số lẻ.
(b) Chứng minh rằng Geoff không bao giờ có thể thực hiện được mong muốn của mình nếu $n$ là số chẵn.