Ngân hàng câu hỏi IMO 1964

(CZS) (a) Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho số $2^n-1$ chia hết cho $7$.
(b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$, số $2^n+1$ không chia hết cho $7$.

(HUN) Gọi $a,b,c$ là độ dài các cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng
$$a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\le3abc.$$

(YUG) Một đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ có các cạnh $a,b,c$. Kẻ ba tiếp tuyến với đường tròn nội tiếp, mỗi tiếp tuyến song song với một cạnh của tam giác $ABC$. Các tiếp tuyến này cùng với các cạnh của $\triangle ABC$ tạo thành ba tam giác nhỏ hơn (nằm bên trong $\triangle ABC$). Trong mỗi tam giác ấy, dựng một đường tròn nội tiếp. Tính tổng diện tích của cả bốn hình tròn nội tiếp.

(HUN) Mỗi người trong $17$ học sinh đều nói chuyện với mọi học sinh khác. Tất cả nói về ba chủ đề khác nhau. Mỗi cặp học sinh nói về một chủ đề. Chứng minh rằng có ba học sinh mà các cuộc nói chuyện giữa từng cặp trong ba người đều cùng một chủ đề.

(ROM) Cho năm điểm trong mặt phẳng. Trong các đường thẳng nối các điểm này, không có hai đường trùng nhau, song song hoặc vuông góc. Qua mỗi điểm, kẻ đường vuông góc tới mỗi đường thẳng còn lại. Số giao điểm lớn nhất của các đường vuông góc này là bao nhiêu (không kể năm điểm ban đầu)?

(POL) Cho tứ diện $ABCD$, gọi $D_1$ là trọng tâm tam giác $ABC$ và $A_1,B_1,C_1$ là giao điểm của các đường thẳng song song với $DD_1$, đi qua các điểm $A,B,C$, với các mặt đối diện của tứ diện. Chứng minh rằng thể tích tứ diện $ABCD$ bằng một phần ba thể tích tứ diện $A_1B_1C_1D_1$. Kết quả có còn đúng nếu thay $D_1$ bằng một điểm bất kỳ bên trong tam giác $ABC$ không?