Đối với mỗi số nguyên $a_0 \gt 1$, hãy xác định dãy $a_0$, $a_1$, $a_2$, …, theo $$
a_{n+1} =
\begin{cases}
\sqrt{a_n} & \text{nếu $\sqrt{a_n}$ là số nguyên,} \\
a_n + 3 & \text{trong trường hợp còn lại}
\end{cases}
$$ cho mỗi $n \ge 0$. Xác định tất cả các giá trị của $a_0$ mà có một số $A$ sao cho $a_n = A$ cho vô số giá trị của $n$.
Một thợ săn và một con thỏ vô hình chơi một trò chơi trên mặt phẳng. Thỏ và thợ săn bắt đầu ở điểm $A_0 = B_0$. Trong vòng thứ $n$của trò chơi ($n \ge 1$), ba điều xảy ra theo thứ tự:
(i) Con thỏ di chuyển vô hình từ $A_{n-1}$ đến một điểm $A_n$ sao cho $A_{n-1} A_n = 1$.
(ii) Người thợ săn có một thiết bị theo dõi (ví dụ: con chó) báo cáo vị trí gần đúng $P_n$ của con thỏ, sao cho $P_n A_n \le 1$.
(iii) Người thợ săn di chuyển công khai từ $B_{n-1}$ đến một điểm $B_n$ sao cho $B_{n-1} B_n = 1$.
Gọi $N = 10^9$. Thợ săn có thể đảm bảo rằng $A_NB_N\le100$ không?
Đặt $R$ và $S$ là các điểm khác nhau trên đường tròn $\Omega$ sao cho $\overline{RS}$ không phải là đường kính. Gọi $\ell$ là tiếp tuyến của $\Omega$ tại $R$. Điểm $T$ sao cho $S$ là trung điểm của $\overline{RT}$. Điểm $J$ được chọn trên cung nhỏ $RS$ của $\Omega$ sao cho đường tròn ngoại tiếp $\Gamma$ của tam giác $JST$ cắt $\ell$ tại hai điểm phân biệt. Đặt $A$ là điểm chung của $\Gamma$ và $\ell$ gần hơn với $R$. Đường thẳng $AJ$ gặp lại $\Omega$ tại $K$. Chứng minh rằng đường thẳng $KT$ tiếp tuyến với $\Gamma$.
Sửa $N \ge 1$. Một tập hợp $N(N+1)$ cầu thủ bóng đá có chiều cao khác nhau đứng thành một hàng. Sir Alex Song mong muốn loại bỏ $N(N-1)$ cầu thủ khỏi hàng này để có được một hàng mới gồm $2N$ cầu thủ trong đó các điều kiện $N$ sau được giữ nguyên: không ai đứng giữa hai cầu thủ cao nhất, không ai đứng giữa cầu thủ cao thứ ba và thứ tư, …, không ai đứng giữa hai cầu thủ thấp nhất. Chứng minh rằng điều này là có thể.
Một *điểm lưới nguyên thủy* là cặp số nguyên có thứ tự $(x,y)$ thỏa mãn $\gcd(x,y) = 1$. Chứng minh rằng nếu $S$ là một tập hữu hạn các điểm lưới nguyên thủy thì tồn tại đa thức *thuần nhất* không hằng $f(x,y)$ với hệ số nguyên sao cho $f(x,y)=1$ với mỗi $(x,y) \in S$.